Cuvântul Fibonacci fractal

Fibonacci cuvânt fractal este un plan de fractal curbă definită de cuvântul lui Fibonacci .

Definiție

Această curbă este construită iterativ prin aplicarea cuvântului Fibonacci : 0100101001001 ... regula OEDR (Regula de desenare pare-impar). Pentru fiecare cifră din poziția k :

dacă numărul este 1: desenați un segment de lungime 1 în direcția anterioară
dacă numărul este 0, desenați un segment de lungime 1 după ce faceți un sfert de tură:
- în dreapta dacă k este egal
- în stânga dacă k este impar

Într-un cuvânt Fibonacci, lungimea cuvântului, care este al n -lea număr Fibonacci , este asociată cu o curbă formată din segmente. Curba este prezentată în trei aspecte diferite, în funcție de dacă n are forma 3 k , 3 k +1 sau 3 k +2. $F_ {n}$ $F_ {n}$ $F_ {n}$

Proprietăți

Proprietăți.

Curba , cu segmente, prezintă unghiuri drepte și unghiuri plane. ${\ mathcal {F}} _ {n}$ $F_ {n}$ $F _ {{n-1}}$ $F _ {{n-2}}$
Curba nu are niciodată intersecție de sine sau puncte duble. În cele din urmă, prezintă o infinitate de puncte apropiate asimptotic.
Curba prezintă asemănări de sine la toate scările. Factorul de reducere este valid . Acest număr, numit și numărul de argint , este prezent în multe dintre proprietățile geometrice discutate mai jos. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {Ag} = \ varphi _ {2}}$
Numărul copiei autosimile la gradul n este un număr Fibonacci minus 1 (mai precis :) . $F _ {{3n + 3}} - 1$
Curba delimitează o infinitate de structuri pătrate de dimensiuni descrescătoare, într-un raport de . ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$
Acest număr de pătrate este un număr Fibonacci.
Curba poate fi construită și în diferite moduri (vezi galeria ):
- sistem de funcții iterate cu 4 și 1 omotitate de raport și ; ${\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}$
- juxtapunerea curbelor n - 1 și n - 2;
- Sistem Lindermayer ;
- construirea iterată a 8 modele pătrate în jurul fiecărui model pătrat;
- construirea iterată a octogonelor.
Dimensiunea Hausdorff a curbei este , cu , raportul auriu . ${\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ approx 1 {,} 6379}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$
Prin generalizarea la orice unghi între 0 și , dimensiunea sa Hausdorff este egală cu , cu . $\alfa$ $\ pi / 2$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + a + {\ sqrt {(1 + a) ^ {2} +1}} \ right)}}}$ ${\ displaystyle a = \ cos \ alpha}$
Dimensiunea Hausdorff a frontierei sale este valabilă . ${\ displaystyle {\ frac {\ log 3} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ approx 1 {,} 2465}$
Schimbarea rolului „0” și „1” în cuvântul Fibonacci, sau în regulă, generează aceeași curbă, dar orientată la 45 °.
Din cuvântul Fibonacci, putem defini „cuvântul dens Fibonacci”, pe un alfabet de 3 litere: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... (continuare A143667 din OEIS ). Aplicarea, pe acest cuvânt, a unei reguli de trasare „naturale” face posibilă definirea unui set infinit de variante ale curbei, printre care:
- varianta „diagonală”;
- varianta „svastică”;
- varianta „compactă”.
Conjecturăm că modelul fractalului cuvântului Fibonacci se găsește pentru orice cuvânt sturmian a cărui secvență directivă (deci extinderea pantei în fracții continuate ) se încheie cu o succesiune infinită de „1”.

Galerie

Curba după iterații. $\ textstyle {F _ {{23}}}$
Asemănări de sine
Dimensiuni
Construcție prin juxtapunere (1)
Construcție prin juxtapunere (2)
Modul de construcție prin ștergerea iterată a pătratelor.
Metoda de construcție iterată de octogonii.
Construcție iterativă din pătrate.
Cu un unghi de 60 °.
Inversia rolurilor „0” și „1”.
Variante generate din cuvântul dens Fibonacci.
Varianta „compactă”
Varianta „svastică”
Varianta „diagonală”
Varianta „pi / 8”

Plăci Fibonacci

Juxtapunerea a 4 curbe Fibonacci de tip permite construirea unei curbe închise care delimitează o suprafață conectată de zonă diferită de zero. Această figură se numește „țiglă Fibonacci”. $F _ {{3k}}$

Gresia Fibonacci aproape pavează planul. Juxtapunerea a 4 plăci (vezi ilustrația) lasă în centru un pătrat liber a cărui suprafață tinde spre zero pe măsură ce k tinde spre infinit. În cele din urmă, țigla Fibonacci pavează planul.
Dacă țigla Fibonacci se încadrează într-un pătrat cu latura 1, atunci zona sa tinde spre . ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {2}} \ approx 0 {,} 5857}$

Fulg Fibonacci

Fulgul Fibonacci este o țiglă Fibonacci definită conform următoarei reguli:

${\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} q_ {n-2}}$ dacă ; ${\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}$
${\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} {\ overline {q_ {n-2}}}}$ dacă nu.

Cu și , „virați la stânga” și „virați la dreapta” și , $q_ {0} = \ epsilon$ $q_ {1} = D$ $G =$ $D =$ ${\ displaystyle {\ overline {D}} = G}$

Câteva proprietăți remarcabile:

Este țigla Fibonacci asociată cu varianta „diagonală” definită anterior.
El deschide planul la orice iterație (la orice comandă)
A pavat planul prin traducere în două moduri diferite, deci este un pseudo-pătrat dublu.
perimetrul său, la comandă , merită . $nu$ ${\ displaystyle 4F_ {3n + 1}}$
suprafața sa, la comanda , urmeaza succesive indici impari ai secvenței Pell (definită prin , și ). $nu$ ${\ displaystyle P_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle P_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle P_ {n} = 2P_ {n-1} + P_ {n-2}}$

Note și referințe

(în) A. Monnerot-Dumaine, Cuvântul fractal Fibonacci , martie 2009, pe HAL .
(ro) A. Blondin-Massé, S. Labbé și S. Brlek, plăci Christoffel și Fibonacci , septembrie 2009.
(în) A. Blondin Masse, S. Labbe, S. Brlek și Mendes-France, " Fibonacci fulgi de zăpadă " ( Arhiva • Wikiwix • archive.is • Google • Ce să fac? ) ,2010.

Vezi și tu

Articol asociat

Lista fractalelor după dimensiunea Hausdorff

Link extern

(ro) S. Brlek, Aspecte combinatorii ale pătratelor duble ,iulie 2009 (material de conferință, cu A. Blondin-Massé și S. Labbé)