Funcția Von Mangoldt
În matematică, funcția von Mangoldt este o funcție aritmetică numită după matematicianul german Hans von Mangoldt .
Definiție
Funcția von Mangoldt notată în mod tradițional este definită de
Λ{\ displaystyle \ Lambda}NU∗{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}}
Λ(nu)={lnpdacă nu=pk pentru un număr prim p și un număr întreg k≥1,0dacă nu.{\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ ln p & {\ text {si}} n = p ^ {k} {\ text {pentru un număr prim}} p {\ mbox {și un întreg}} k \ geq 1, \\ 0 & {\ text {în caz contrar.}} \ end {cases}}}Această funcție aritmetică importantă nu este nici multiplicativă, nici aditivă .
Ea satisface identitatea
lnnu=∑d∣nuΛ(d){\ displaystyle \ ln n = \ sum _ {d \ mid n} \ Lambda (d)}sau,
ceea ce este echivalent , ,
Λ(nu)=-∑d∣nuμ(d)ln(d){\ displaystyle \ Lambda (n) = - \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) \ ln (d)}unde sumele sunt preluate de toate numerele naturale d care împart n și unde denotă funcția Möbius .
μ{\ displaystyle \ mu}
Funcția lui Chebyshev
„Funcția de însumare a lui von Mangoldt” , cunoscută și ca a doua funcție a lui Chebyshev , este definită de
ψ{\ displaystyle \ psi}
ψ(X): =∑pk≤Xlnp=∑nu≤XΛ(nu)=∑p≤X⌊ButurugapX⌋lnp{\ displaystyle \ psi (x): = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ ln p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x } \ lfloor \ log _ {p} x \ rfloor \ ln p}.
Von Mangoldt a furnizat o dovadă riguroasă a unei formule explicite (în) pentru implicarea unei sume peste zerourile funcției zeta nontriviale Riemann . Aceasta a fost o parte importantă a primei dovezi a teoremei numerelor prime, care este echivalentă cu .
ψ(X){\ displaystyle \ psi (x) \,} ψ(X)∼X(X→+∞){\ displaystyle \ psi (x) \ sim x \ quad (x \ to + \ infty)}
Seria Dirichlet
Funcția von Mangoldt joacă un rol important în teoria seriei Dirichlet , în special funcția zeta Riemann . Logaritmul său este
Buturugaζ(s)=∑nu=2∞Λ(nu)lnnu1nus{\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ ln n}} \, {\ frac {1} {n ^ {s}}}}pentru . Prin urmare, derivatul său logaritmic este:
ℜ(s)>1{\ displaystyle \ Re (s)> 1}
ζ′(s)ζ(s)=-∑nu=1∞Λ(nu)nus{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) } {n ^ {s}}}}.
Mai general, pe jumătatea planului de convergență a unei serii Dirichlet , avem
F(s)=∑nu=1∞f(nu)nus{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}
F′(s)=-∑nu=1∞f(nu)nuslnnu=-∑nu=1∞f(nu)nus∑d∣nuΛ(d){\ displaystyle F '(s) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ ln n = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ sum _ {d \ mid n} \ Lambda (d)}iar dacă este
complet multiplicativ , deducem
f{\ displaystyle f}
F′(s)=-F(s)∑d=1∞f(d)Λ(d)ds{\ displaystyle F '(s) = - F (s) \ sum _ {d = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (d) \ Lambda (d)} {d ^ {s}}}}.
Transformarea Mellin a funcției lui Chebyshev
Mellin transforma a funcției Cebîșev poate fi găsită prin aplicarea formulei însumare Abel :
ζ′(s)ζ(s)=-s∫1∞ψ(X)Xs+1dX{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ psi (x)} {x ^ {s + 1}}} \, {\ rm {d}} x}ceea ce rămâne adevărat pentru .
ℜ(s)>1{\ displaystyle \ Re (s)> 1}
Serie exponențială
Echivalentul ( vezi mai sus ) este rescrisă:
ψ(X)∼X{\ displaystyle \ psi (x) \ sim x}
∑nu≤X(Λ(nu)-1)=o(X){\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} \ left (\ Lambda (n) -1 \ right) = o (x)}.
Hardy și Littlewood au revizuit serialul
F(y)=∑nu=2∞(Λ(nu)-1)e-nuy{\ displaystyle F (y) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left (\ Lambda (n) -1 \ right) \ mathrm {e} ^ {- ny}}.
Au demonstrat sub ipoteza Riemann că
F(y)=O(1y) (y→0){\ displaystyle F (y) = O \ left ({\ sqrt {\ frac {1} {y}}} \ right) \ (y \ to 0)}și
F(y)=Ω±(1y) (y→0){\ displaystyle F (y) = \ Omega _ {\ pm} \ left ({\ sqrt {\ frac {1} {y}}} \ right) \ (y \ to 0)}.
Astfel (dacă ipoteza Riemann este adevărată) această funcție este oscilatorie, cu oscilații divergente: există o valoare astfel încât fiecare dintre inegalități
K>0{\ displaystyle K> 0}
F(y)<-Ky{\ displaystyle F (y) <- {\ frac {K} {\ sqrt {y}}}} și
F(z)>Kz{\ displaystyle F (z)> {\ frac {K} {\ sqrt {z}}}}
este foarte adesea adevărat în fiecare vecinătate de 0. Graficul din dreapta arată că acest comportament nu este ușor de ilustrat: oscilațiile sunt vizibile doar atunci când primii 100 de milioane de termeni ai seriei au fost însumați și pentru .
y<10-5{\ displaystyle y <10 ^ {- 5}}
Riesz este rău
Media Riesz a funcției von Mangoldt este dată de
∑nu≤λ(1-nuλ)δΛ(nu){\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ left (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ right) ^ {\ delta} \ Lambda (n)}=-12πeu∫vs.-eu∞vs.+eu∞Γ(1+δ)Γ(s)Γ(1+δ+s)ζ′(s)ζ(s)λsds{\ displaystyle = - {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s) }} \ lambda ^ {s} ds}
=λ1+δ+∑ρΓ(1+δ)Γ(ρ)Γ(1+δ+ρ)+∑nuvs.nuλ-nu{\ displaystyle = {\ frac {\ lambda} {1+ \ delta}} + \ sum _ {\ rho} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (\ rho)} {\ Gamma (1 + \ delta + \ rho)}} + \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}.
Iată și sunt numerele care caracterizează media Riesz. Trebuie să luăm . Suma peste este suma peste zerourile funcției zeta Riemann și putem arăta că seria converge pentru .
λ{\ displaystyle \ lambda}δ{\ displaystyle \ delta}vs.>1{\ displaystyle c> 1}ρ{\ displaystyle \ rho}∑nuvs.nuλ-nu{\ displaystyle \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}λ>1{\ displaystyle \ lambda> 1}
Vezi și tu
Referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Funcția Von Mangoldt ” ( vezi lista autorilor ) .
-
Vizualizare (în) Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , Springer ,1976, 340 p. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , citit online ) , p. 32-33, a. 2.10 și 2.11, sau acest exercițiu corectat din lecția „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
-
(în) Allan Gut , „ Câteva remarci despre distribuția zeta Riemann ” , Rev. Matematică română. Pures and Appl. , vol. 51,2006, p. 205-217 ( citește online ).
-
Este mai degrabă prin această metodă că Apostol 1976 , p. 236, calculați ζ '/ ζ , după ce vă asigurați ( p. 228-229 ) că pe jumătatea sa de convergență, ζ nu este anulat.
-
(în) GH Hardy și JE Littlewood , " Contribuții la teoria funcției Zeta Riemann și teoria distribuției bonusurilor " , Acta , vol. 41, 1916, p. 119-196.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">