Funcția Schur-convexă

În matematică, o funcție Schur-convexă (sau convexă în sensul lui Schur), numită și S-convexă , funcție izotonică sau funcție de păstrare a ordinii este o funcție astfel încât să păstreze relațiile de ordine: pentru toate astfel încât $x$ este delimitat de $y$ , $f$ satisface $f$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $($ $y$ $)$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Numite după Issai Schur , funcțiile Schur-convexe sunt utilizate în studiul majorizării . Orice funcție convexă și simetrică este, de asemenea, Schur-convexă, dar implicația inversă nu este întotdeauna adevărată. Pe de altă parte, orice funcție Schur-convexă este simetrică (în ceea ce privește permutările argumentelor sale).

Funcția Schur-concavă

Se spune că o funcție $f$ este Schur-concavă dacă opusul său, - $f$ , este Schur-convex.

Criteriul Schur-Ostrowski

Dacă $f$ este simetric și are derivate parțiale, atunci $f$ este Schur-convex dacă și numai dacă pentru toate 1 ≤ i ≠ j ≤ d și în orice punct de : $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j} }} \ dreapta) \ geq 0}

Exemple

${\ displaystyle f (x) = \ min (x)}$ este Schur-concav și este Schur-convex (acest lucru se deduce rapid din definiția funcțiilor). ${\ displaystyle f (x) = \ max (x)}$
Funcția de entropie a lui Shannon este Schur-concavă. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} \ cdot \ log _ {2} {\ frac {1} {P_ {i}}}}}$
Funcția de entropie Rényi este și Schur-concavă.
Mai degrabă natural, funcțiile sunt toate Schur-convexe pentru $k$ $\geq 1$ . ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}}$
Funcția este Schur-concavă, pe domeniu . De asemenea, funcțiile simetrice elementare sunt concurente Schur . ${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$
O interpretare naturală a majorării este că dacă atunci $x$ este mai răspândit decât $y$ . Prin urmare, este firesc să ne întrebăm dacă măsurătorile statistice ale variabilității sunt Schur-convexe. Atât varianța, cât și abaterea standard sunt funcții Schur-convexe, dar valoarea absolută a abaterilor nu este. ${\ displaystyle x \ succ y}$
Dacă $g$ este o funcție convexă definită pe un interval real, atunci este Schur-convex. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$
Un exemplu de probabilitate: dacă sunt variabile aleatorii schimbabile, atunci funcția de așteptare este Schur-convexă ca o funcție a indexului multiplu , cu condiția ca așteptarea să existe. ${\ displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}} \ right)}$ ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$
Coeficientul Gini este strict Schur-concav.

Referințe

(în) A. Wayne Roberts și Dale E. Varberg , Convex functions , New York, Academic Press ,1973, 299 p. ( ISBN 978-0-08-087372-5 , citit online ) , p. 258.
(în) Josip E. Peajcariaac și Y. L. Tong , Funcții convexe, ordonări parțiale și aplicații statistice , Academic Press,1992, 467 p. ( ISBN 978-0-08-092522-6 , citit online ) , p. 333.

Vezi și tu

Funcția aproape convexă