Excursie browniană

În teoria probabilității , o excursie browniană este un proces stocastic , care este strâns legat de un proces Wiener (sau mișcare browniană ). Realizările excursiei browniene sunt în esență realizări ale unui proces Wiener specific, care îndeplinește anumite condiții. În special, o excursie browniană este un proces wiener condiționat să fie pozitiv și să ia valoarea 0 la momentul 1. Poate fi definit și ca o punte browniană condiționată să fie pozitivă.

Definiție

O reprezentare a unei excursii browniene în termenii unei mișcări browniene W (datorită lui Paul Levy și notată de Kiyoshi Ito și Henry P. McKean, Jr) este dată în funcție de ultima dată când W ajunge la zero înainte de ora 1 și prima dată acea mișcare browniană ajunge la zero, după timpul 1: $W$ ${\ displaystyle \ tau _ {-}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {+}}$ $W$

{\ displaystyle \ {e (t): \ {0 \ leq t \ leq 1} \} \ {\ stackrel {d} {=}} \ \ left \ {{\ frac {| W ((1-t) \ tau _ {-} + t \ tau _ {+}) |} {\ sqrt {\ tau _ {+} - \ tau _ {-}}}}: \ 0 \ leq t \ leq 1 \ right \} .}

Dacă este momentul în care un pod brownian ajunge la minim pe [0, 1], Vervaat (1979) arată că ${\ displaystyle \ tau _ {m}}$ $W_ {0}$

{\ displaystyle \ {e (t): \ {0 \ leq t \ leq 1} \} \ {\ stackrel {d} {=}} \ \ left \ {W_ {0} (\ tau _ {m} + t {\ bmod {1}}) - W_ {0} (\ tau _ {m}): \ 0 \ leq t \ leq 1 \ right \}.}

Note și referințe

Durrett, Iglehart, Funcționalitățile meandrului brownian și excursia browniană (1975)
Itô și McKean (1974, pagina 75)

Bibliografie

Chung, Kai Lai (1975). „Maxima în excursii browniene” . Buletinul Societății Americane de Matematică . 81 (4): 742-745. ISSN 0002-9904 . doi : 10.1090 / s0002-9904-1975-13852-3 .
Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). „Funcționalități ale meandrului brownian și ale excursiei browniene” . Analele probabilității (em inglês). 5 (1): 130-135. ISSN 0091-1798 . doi : 10.1214 / aop / 1176995896 .
Groeneboom, Piet (1983). „Majorul concav al mișcării browniene” . Analele probabilității . 11 : 1016–1027. JSTOR 2243513 . MR 714964 . doi : 10.1214 / aop / 1176993450 .
Groeneboom, Piet (1989). „Mișcare browniană cu o derivă parabolică și funcții Airy” . Teoria probabilității și câmpurile conexe . 81 : 79–109. MR 981568 . doi : 10.1007 / BF00343738 .
Itô, Kiyosi ; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Procesele de difuzie și căile lor de probă . Clasici în matematică (a doua tipărire, ediție corectată). Springer-Verlag, Berlin. ( ISBN 978-3540606291 ) . MR 0345224 .
Janson, Svante (2007). „Zona de excursie browniană, constantele lui Wright în enumerarea graficelor și alte zone browniene”. Sondaje de probabilitate . 4 : 80–145. MR 2318402 . doi : 10.1214 / 07-ps104 .
Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). "Estimări de coadă pentru zona de excursie browniană și alte zone browniene." . Jurnalul electronic al probabilității . 12 : 1600–1632. MR 2365879 . doi : 10.1214 / ejp.v12-471 .
Kennedy, Douglas P. (1976). „Distribuirea excursiei maxime browniene”. J. Appl. Probabilitate . 13 : 371–376. JSTOR 3212843 . MR 402955 A .
Lévy, Paul (1948). Procese stochastice și mișcare browniană . Gauthier-Villars, Paris. MR 0029120 .
Louchard, Guy (1984). „Formula lui Kac, ora locală a lui Levy și excursia browniană”. J. Appl. Probabilitate . 21 : 479–499. JSTOR 3213611 . MR 752014 .
Pitman, JW (1983). „Observații asupra minorului convex al mișcării browniene”. Progr. Probab. Statistică. 5 . Birkhauser, Boston: 219–227. MR 733673 .
Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Martingale continue și mișcare browniană . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (Cartea 293). Springer-Verlag, Berlin. MR 1725357 .
Vervaat, Wim (1979). „O relație între podul Brownian și excursia Browniană” . Analele probabilității . 7 : 143–149. JSTOR 2242845 . MR 515820 . doi : 10.1214 / aop / 1176995155 .