Estimare (geostatistică)

În geostatistică , estimarea este predicția dintr-o variabilă regionalizată pentru a compensa un decalaj de informații.

Estimare globală

O estimare globală constă în propunerea unei formule a priori a estimatorului (în general media măsurătorilor) și a varianței acestuia.

Varianța estimării este exprimată prin:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} & = {\ frac {1} {[v] ^ {2}}} \ int _ {v} \ int _ {v} C \ left (xy \ right) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y + {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} \ sum _ { j} C \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) - {\ frac {2} {N [v]}} \ int _ {v} \ sum _ {i} C \ left (x_ { i} -y \ right) \ mathrm {d} y \\\ & = {\ bar {C}} \ left (v, v \ right) + {\ bar {C}} \ left (v ', v' \ right) -2 {\ bar {C}} \ left (v, v '\ right) \ end {align}}}$

În următoarele cazuri, presupunem geometria cunoscută ( $V$ cunoscut ). Atunci când acest lucru nu este asigurat, pot apărea reacții adverse. Poate fi necesar să se lucreze în geostatistică tranzitivă .

Eșantionare pură aleatorie

Dacă eșantioanele sunt stabilite la întâmplare, independent una de cealaltă și uniform în câmpul $V$ care urmează să fie estimat, problema este de a estima prin medie . ${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {V} = {\ frac {1} {V}} \ int _ {V} Z (x) \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i} Z (x_ {i})}$

Varianța estimării este scrisă folosind erori parțiale $Z (X i ) - Z V$ sub forma: ${\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right]}$

Sub ipoteza staționară sau sub ipoteza intrinsecă fără derivă, varianța estimării este scrisă:

${\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sigma ^ {2} \ left (o | V \ right)}$

Demonstrație

Sub ipoteza staționară sau sub ipoteza intrinsecă fără derivă, varianța estimării este scrisă:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} & = \ mathbf {Var} \ left [{\ frac {1} {N}} \ sum _ {i } \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right] & (1) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right] & (2) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ {i} Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) ^ {2 } \ right] & (3) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ { i} Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] | Z \ right] & (4) \\\ {\ sigma _ {\ mathrm {E} }} ^ {2} \ left (\ bullet | Z = z \ right) & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ {i } z \ left (X_ {i} \ right) -z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] & (5) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} \ mathbf {E} \ left [\ left (z \ left (X_ {i} \ right) -z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] & (6) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} {\ frac {1} {V}} \ int _ {v} \ left (z \ left (x \ right) - z_ {V} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} x & (7) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} s ^ {2 } (o | V) & (8) \\\ & = {\ frac {1} {N}} s ^ {2} \ left (o | V \ right) \\\ {\ sigma _ {\ mathrm { E}}} ^ {2} & = {\ frac {1} {N}} \ s igma ^ {2} \ left (o | V \ right) & (9) \ end {align}}}$

prin definiția varianței estimării.
$Z (X i ) - Z V$ sunt erorile parțiale.
ipoteză staționară sau ipoteză intrinsecă fără deriva: erorile parțiale au o așteptare zero.
prin așteptare condiționată.
cu realizarea fixă a funcției aleatorii (lucrăm la o varianță condițională).
$X i$ sunt independente; termenii încrucișați sunt covarianțe ale variabilelor aleatoare independente, deci zero.
Legea lui $X i$ în $V$ este uniformă.
prin definiția varianței statistice.
déconditionnant în exprimare cu privire la $Z$ .

Eșantionare aleatorie stratificată

Este o partiție $v i$ , volume identice $v$ , domeniu pentru estimarea $V$ . Pentru fiecare subdomeniu se ia, în mod independent, un eșantion unic. Varianța estimării este atunci: ${\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sigma ^ {2} \ left (0 | v \ right)}$

Această varianță de estimare este mai mică decât cea din cazul anterior.

Plasa regulată cu implantare preferențială

Este o partiție $v i$ , volume identice $v$ , domeniu pentru estimarea $V$ . Pentru fiecare subdomeniu, este prelevat un eșantion în centrul său. Varianța estimării apare ca suma a trei componente:

termen de rând: varianța erorii făcute în estimarea unui volum elementar după eșantionul central;
termenul secțiunii: varianța erorii făcute în estimarea unui plan în funcție de media ponderată a liniilor pe care le conține;
termen slice: varianța erorii făcute în estimarea câmpului cu media ponderată a secțiunilor sale.

Valabilitatea acestui principiu de compoziție nu este forțată.

O regulă empirică este că un estimator va fi cu atât mai bun, dacă funcția aleatorie foarte structurată, măsurile sunt plasate în mod regulat, iar dacă funcția aleatorie este nestructurată, că vor fi numeroase.

Estimare locală

O estimare locală construiește local un estimator din datele disponibile. În geostatistica liniară , cantitatea de estimat va fi o funcționalitate liniară a variabilei regionalizate ; în mod similar, estimatorul va fi o combinație liniară a datelor, iar eroarea de estimare o funcționalitate liniară pe variabila regionalizată. Ponderile combinației liniare care formează estimatorul sunt date prin minimizarea varianței erorii. Această estimare locală se numește kriging .