Spațiul pseudometric
În matematică , un spațiu pseudometric este un set prevăzut cu un pseudometric . Este o generalizare a noțiunii de spațiu metric .
Pe un spațiu vector , la fel ca o normă induce o distanță , o semi-normă induce una pseudometrică. Din acest motiv, în analiza funcțională și disciplinele matematice conexe, termenul de spațiu semimetric este utilizat sinonim cu spațiu pseudometric (în timp ce „ spațiu semimetric ” are un alt sens în topologie).
Definiție
Un pseudometric pe un set este o aplicațieX{\ displaystyle X}
d:X×X→R+{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ times X \ to \ mathbb {R} _ {+}}![{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ times X \ to \ mathbb {R} _ {+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b5926e15b53396081edbf0f49e305e7f0e8cdf)
astfel încât pentru orice ,
X,y,z∈X{\ displaystyle x, y, z \ în X}![{\ displaystyle x, y, z \ în X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d195ea3d65ddac959ca69b7b3a4d491109c2d98)
-
d(X,X)=0{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, x \ right) = 0}
;
-
d(X,y)=d(y,X){\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = \ mathrm {d} \ left (y, x \ right)}
(simetrie);
-
d(X,z)≤d(X,y)+d(y,z){\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, z \ right) \ leq \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) + \ mathrm {d} \ left (y, z \ right)}
( inegalitate triunghiulară ).
Cu alte cuvinte, o pseudometrică este o deviație cu valoare finită.
Un spațiu pseudometric este un set prevăzut cu unul pseudometric.
Spre deosebire de cele ale unui spațiu metric, punctele unui spațiu pseudometric nu sunt neapărat perceptibile - adică se pot avea ca puncte distincte .
d(X,y)=0{\ displaystyle \ mathrm {d} (x, y) = 0}
X≠y{\ displaystyle x \ neq y}![x \ ne y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51b711ca7f932963cdb268b0817dc72d6258733)
Exemple
- Dacă este o abatere pe un set , atunci este o pseudometrică pe ;d{\ displaystyle \ mathrm {d}}
X{\ displaystyle X}
min(1,d){\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Dacă este o semi-normă peste un spațiu vectorial , atunci este o peste pseudometrică . Dimpotrivă, orice pseudometric invariant de traducere omogen provine dintr-o semi-normă. Un exemplu concret al unei astfel de situații se află pe spațiul vectorial al funcțiilor cu valori reale : alegând un punct , putem defini un pseudometric prin .p{\ displaystyle p}
V{\ displaystyle V}
d(X,y)=p(X-y){\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = p \ left (xy \ right)}
V{\ displaystyle V}
RX{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}
f:X→R{\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}
X0∈X{\ displaystyle x_ {0} \ în X}
d(f,g)=|f(X0)-g(X0)|{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (f, g \ right) = | f \ left (x_ {0} \ right) -g \ left (x_ {0} \ right) |}![{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (f, g \ right) = | f \ left (x_ {0} \ right) -g \ left (x_ {0} \ right) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2214a85f4ad86dfff6d7ce710954fd359ed0ad)
Topologia pseudometrică asociată cu una pseudometrică este cea indusă de setul de bile deschise:
d{\ displaystyle \ mathrm {d}}![{\ mathrm d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15022657616b297a2c995d1b314a3aa3442c0cb)
Br(p)={X∈X∣d(p,X)<r}{\ displaystyle B_ {r} \ left (p \ right) = \ {x \ in X \ mid \ mathrm {d} \ left (p, x \ right) <r \}}![{\ displaystyle B_ {r} \ left (p \ right) = \ {x \ in X \ mid \ mathrm {d} \ left (p, x \ right) <r \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcb2556c6cef57cca395aa0669d9d8e8107daf6)
.
Se spune că un spațiu topologic este „pseudometrizabil” dacă există un pseudometric a cărui topologie asociată coincide cu cea a spațiului.
Notă: Un spațiu este metrizabil dacă (și numai dacă) este pseudometrizabil și T 0 .
Identificarea metrică
Citând un spațiu pseudometric prin relația de echivalență de anulare a pseudometricului, obținem un spațiu metric . Mai explicit, definim
X∼y⟺d(X,y)=0{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = 0}![{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b94bfb87d45f0d2e27cc37c4d9e53177f2dd193)
,
și vom obține o distanță pe de setare:
d∗{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}
X∗=X/∼ {\ displaystyle X ^ {*} = X / \ sim ~}![X ^ {*} = X / \ sim ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654b4e33c5e292ffa10a8c6d4c343df8b4bdc71e)
d∗([X],[y])=d(X,y){\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = \ mathrm {d} \ left (x, y \ right)}![{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf324ccbf08c636b9f568b32d4c5b148af0e4e1a)
.
Topologia spațiului metric este topologia coeficientului celei din .
(X∗,d∗){\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}
(X,d){\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}![{\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712342f72a6430c35750d558f3853cf31e746855)
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Spațiul pseudometric ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(în) „ Topologie pseudometrică ” pe PlanetMath .
Bibliografie
- (ro) AV Arkhangelskii și LS Pontryagin , Topologie generală I , Springer ,1990, 202 p. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
- (ro) Eric Schechter (ro) , Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press ,1997, 883 p. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , citit online )
- Laurent Schwartz , Curs de analiză , vol. 2, Hermann ,nouăsprezece optzeci și unu, 475 p. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
- (ro) Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie , Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , citit online ) , p. 34
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">