Dinamica particulelor disipative

De dinamica particulelor disipative , observat adesea DPD , este o ecuație diferențială stocastică , utilizată în dinamica moleculară a modelului adesea polimeri sau alte sisteme compuse din complexe molecule . Acest model a fost dezvoltat de Hoogerbrugge și Koelman în 1992 pentru a modela mișcarea polimerilor într-un solvent compus din particule mult mai mici. Problema cu un astfel de sistem este că acesta cuplează două faze cu scări de timp și valori foarte diferite: moleculele solventului au timpi și lungimi caracteristice cu câteva ordine de mărime mai mici decât cele ale polimerilor. Astfel, utilizarea metodelor clasice de dinamică moleculară ar necesita efectuarea unor pași de timp corespunzători solventului și, prin urmare, ar implica simulări extrem de lungi pentru a observa orice fenomen pe polimeri. Pentru a putea efectua simulări numerice ale unor astfel de sisteme într-un timp rezonabil, este necesar, prin urmare, să avem disponibile așa-numitele modele „multi-scară”, care reduc complexitatea descrierii, păstrând în același timp informațiile considerate a fi „importante”. . Dinamica particulelor disipative este un astfel de model.

Context

Scopul inițial al dinamicii particulelor disipative a fost de a efectua simulări numerice pe o scară mezoscopică , adică pentru ordinele de timp și magnitudine situate între scări atomistice și hidrodinamice. Într-adevăr, în timpul studiului sistemelor de aceste dimensiuni, aspectul particulelor materiei nu poate fi neglijat pentru a-și modela corect comportamentul și nu se pot utiliza astfel ecuațiile rezultate din dinamica fluidelor (numită și hidrodinamică). Cu toate acestea, aceste sisteme sunt mult prea mari și au mult prea mulți atomi pentru a putea folosi dinamica moleculară , folosind legile mișcării lui Newton . Acest lucru se datorează faptului că aceste sisteme au adesea zeci de milioane de atomi, iar computerele de astăzi nu sunt suficient de rapide pentru a rezolva problemele de această complexitate într-un timp rezonabil.

Astfel, metodele mezoscopice, folosind atât aspectul particulelor materiei, dar simplificând sistemele în comparație cu descrierea lui Newton, sunt necesare pentru studiul materiei la aceste ordine de mărime. DPD este una dintre aceste opțiuni, dar există și alte metode, cum ar fi metoda automată a gazelor cu rețea , ecuația Langevin sau termostatul Andersen (în) .

Ideea din spatele DPD este de a grupa fiecare moleculă sau set de molecule ale sistemului în cauză într-o singură mezoparticulă, descrisă doar prin poziția și momentul centrului său de masă. Aceste mezoparticule interacționează între ele prin interacțiuni rezultate dintr-un potențial conservator (vezi energia potențială ), dar și prin interacțiuni de fluctuație / disipare, adică forțe de frecare proporționale cu viteza centrelor de masă ale mezoparticulelor care disipă energie și forțe fluctuante stocastice, care alimentează energia înapoi în sistem. Posibilele molecule de solvent ale sistemului nu sunt prezentate, iar efectele lor trebuie descrise în potențialul conservator care acționează asupra mezoparticulelor.

Dinamica particulelor disipative, spre deosebire de ecuațiile lui Langevin , respectă invarianța galileană și nu are artefacte numerice legate de aspectul celular al metodei automatelor de gaz cu rețea . Mai mult, spre deosebire de ecuațiile lui Langevin, DPD respectă invarianța galileană, adică dinamica este neschimbată indiferent dacă sistemul este în traducere rectilinie uniformă sau imobil: un set de particule care urmează ecuațiile DPD și care au o constantă diferită de zero viteza medie se va comporta în același mod ca același sistem, dar cu o viteză medie zero. Și în timp ce DPD a fost creat și este utilizat în primul rând pentru a modela fluide complexe , poate fi la fel de ușor de utilizat pentru a modela sisteme mult mai mici, la fel ca ecuațiile lui Langevin .

Istoric

Hoogerbrugge și Koelman au pus prima dată ecuațiile DPD în 1992 și au prezentat un exemplu de simulare efectuată cu acest model. Cu toate acestea, articolul a rămas neclar asupra fundamentelor teoretice ale dinamicii. Acestea au fost instalate în 1995 de P. Español și P. Warren. Aceste baze teoretice au dat unele garanții pentru a obține convergența estimărilor numerice către valorile reale ale sistemelor modelate.

Modelul DPD este un model izoterm, adică care păstrează temperatura medie a sistemului modelat. Prin urmare, acesta din urmă trebuie fixat a priori. Dacă un astfel de model este potrivit pentru modelarea sistemelor fizice la echilibru, nu mai este potrivit pentru sistemele care nu sunt de echilibru a căror temperatură nu poate fi cunoscută a priori . În 1997, Español și Mackie și Avalos au prezentat independent o variantă a DPD capabilă să conserve energia și, prin urmare, potențial capabilă să modeleze sisteme în afara echilibrului. Această variantă este denumită DPD-E , eDPD sau DPDE .

Ecuații

Luați în considerare un sistem de particule în spațiu. Pentru simplitate, vom presupune că toate aceste particule au aceeași masă . Fie setul de poziții ale acestor particule și momentele lor. Momentul unei particule este definit ca produsul masei și al vitezei sale:, unde este viteza particulei . Să fie suma forțelor conservatoare care se aplică particulei , adică forțele rezultate dintr-o energie potențială . $NU$ $m$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = mv_ {i}}$ $v_ {i}$ $eu$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$ $eu$

Ecuațiile dinamicii particulelor disipative pot fi împărțite în două părți. Primul provine din ecuațiile lui Newton și este scris (indicele înseamnă că ne uităm la dimensiunea particulei ): $eu$ $eu$

{\ displaystyle q_ {i} = {\ frac {p_ {i}} {m}} dt,}

{\ displaystyle p_ {i} = F_ {i} ^ {C} dt.}

Astfel, evoluția momentelor este descrisă de forțele care se aplică fiecărei particule, iar derivata poziției este egală cu viteza.

A doua parte se numește partea de fluctuație / disipare. Se referă doar la momente și include două forțe și , respectiv, numite forțe disipative și forțe aleatorii . Aceste forțe nu sunt conservatoare spre deosebire , adică nu provin dintr-un potențial. Această parte este scrisă: ${\ displaystyle F_ {i} ^ {D}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {R}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$

{\ displaystyle p_ {i} = \ left (F_ {i} ^ {D} + F_ {i} ^ {R} \ right) dt.}

Suma celor două ecuații precedente face posibilă scrierea ecuațiilor dinamicii particulelor disipative:

{\ displaystyle q_ {i} = {\ frac {p_ {i}} {m}} dt,}

{\ displaystyle p_ {i} = \ left (F_ {i} ^ {C} + F_ {i} ^ {D} + F_ {i} ^ {R} \ right) dt.}

Forma depinde de alegerea potențialului utilizat și această alegere variază în funcție de natura particulelor. Ca regulă generală, atunci când utilizăm DPD, alegem să folosim un potențial al formularului: ${\ displaystyle F ^ {C}}$

{\ displaystyle U (q) = \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} w (r_ {ij}),}

unde este distanța care separă particulele și , și funcția este scrisă: ${\ displaystyle r_ {ij} = || q_ {i} -q_ {j} ||}$ $eu$ $j$ ${\ displaystyle w (r)}$

{\ displaystyle w (r) = a \ left (1 - {\ frac {r} {r_ {c}}} \ right) ^ {2}}

, dacă ,

{\ displaystyle r <r_ {c}}

{\ displaystyle w (r) = 0}

, dacă nu.

Aici, se numește raza de tăiere , adică raza care limitează gama interacțiunilor forțelor conservatoare. Forța fiind derivata din față de a , aceasta dă ${\ displaystyle r_ {c}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$ $U (q)$ $q_ {i}$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {C} (q) = \ sum _ {j \ neq i} {\ frac {q_ {j} -q_ {i}} {r_ {ij} ^ {2}}} w ^ {'} (r_ {ij})}

Forțele disipative sunt forțe de frecare, adică proporționale cu viteza particulelor. Cu toate acestea, dacă pentru ecuația lui Langevin, fricțiunea este proporțională cu viteza absolută a particulei , în DPD, pentru a respecta invarianța galileană, aceste forțe de frecare sunt proporționale cu viteza relativă a particulelor dintre ele . În plus, pentru a limita sfera interacțiunilor de disipare, se adaugă funcția de limitare prezentată mai sus. și în cele din urmă, proiectăm aceste forțe de-a lungul axei definind direcția de la particulă la particulă . Astfel, putem scrie: ${\ displaystyle F ^ {D}}$ $v_ {i}$ ${\ displaystyle v_ {ij} = v_ {i} -v_ {j}}$ ${\ displaystyle w (r_ {ij})}$ ${\ displaystyle e_ {ij} = {\ frac {q_ {j} -q_ {i}} {r_ {ij}}}}$ $eu$ $j$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {D} = \ sum _ {j \ neq i} - \ gamma w (r_ {ij}) \ left (v_ {ij} \ cdot e_ {ij} \ right) e_ {ij }.}

Astfel, particulele care respectă legile DPD nu vor disipa mai multă energie dacă viteza lor totală este zero sau nu, spre deosebire de particulele care se supun ecuațiilor lui Langevin.

Forțele aleatorii se obțin folosind mișcarea browniană . Gama lor este, de asemenea, limitată de funcție , sunt proiectate de-a lungul axei și sunt scrise: $w$ ${\ displaystyle e_ {ij}}$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {R} dt = \ sum _ {j \ neq i} \ sigma {\ sqrt {w (r_ {ij}) dt}} dW_ {ij, t} e_ {ij}.}

Trebuie remarcat faptul că este utilizată o mișcare browniană specifică fiecărei perechi de particule . ${\ displaystyle W_ {ij, t}}$ $(i, j)$

Proprietățile ecuațiilor DPD

Ecuațiile DPD sunt utilizate în fizica moleculară pentru a modela particule complexe, cum ar fi polimeri sau alte macro-molecule a căror simulare nu este ușoară. Sistemele descrise de ecuațiile DPD sunt sisteme aparținând setului canonic , adică sisteme pentru care temperatura , volumul și numărul de atomi sunt fixe. Cu toate acestea, afirmația de mai sus nu a fost încă justificată matematic. Într-adevăr, conform ecuațiilor de mai sus, un sistem de particule este complet descris de datele pozițiilor și momentelor particulelor , pozițiilor și momentelor sale care evoluează în timp și care sunt soluțiile ecuației diferențiale de mai jos. Cu toate acestea, conform fizicii statistice , un astfel de sistem aparține setului canonic dacă configurațiile sale sunt distribuite în funcție de măsura corespunzătoare setului canonic, măsură care va fi notată și care este dată de: $T$ $V$ $NU$ ${\ displaystyle (q_ {t}, p_ {t})}$ ${\ displaystyle (q_ {t}, p_ {t})}$ $\ mu$

{\ displaystyle \ mu (\ mathrm {d} q, \ mathrm {d} p) = e ^ {- \ beta (U (q) + K (p))},}

unde este energia potențială a sistemului și este energia cinetică microscopică a acestuia . $U (q)$ ${\ displaystyle K (p) = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2m}} p_ {i} ^ {2}}$

Integrare digitală

Au fost dezvoltate mai multe scheme de integrare pentru DPD. Până în prezent, două scheme se remarcă:

Velocity-Verlet : Dezvoltat în 2000 de Vattulainen și colab. . Este inspirat de schema cu același nume care se aplică ecuațiilor lui Newton din mecanica hamiltoniană . Contrar mecanicii clasice, Velocity-Verlet aplicat la DPD nu este de ordinul doi, ci de ordinul unu și, în plus, își pierde proprietatea de simplecticitate.
Diagrama Shardlow : Până acum diagrama care dă cele mai mici părtiniri numerice la pasul de timp fixat. „Împarte” ecuația într-o parte conservatoare și o sumă de ecuații elementare corespunzătoare interacțiunilor de fluctuație / disipare a fiecărei perechi de particule DPD. Interacțiunile elementare aleatoare sunt în realitate ecuațiile unui proces Ornstein-Uhlenbeck , care sunt rezolvate analitic.

Software existent

Unele programe de simulare capabile să efectueze (printre altele) simulări DPD:

CULGI : Interfață lingvistică unificată pentru chimie, Culgi BV, Olanda
DL_MESO : Software de simulare mezoscopică open-source .
Software- ul gratuit DPDmacs , lansat sub licența GNU GPL
ESPResSo : Pachet de simulare extensibil pentru cercetarea sistemelor de materie moale - open-source
Fluidix : suită de simulare Fluidix de OneZero Software.
GPIUTMD : procesoare grafice pentru dinamica cu mai multe particule
Gromacs-DPD : Versiune modificată a Gromacs, inclusiv simulare DPD.
HOOMD-albastru : dinamică orientată pe obiecte, foarte optimizată, cu multe particule - Ediție albastră
LAMMPS Simulator paralel masiv atomic / molecular pe scară largă, open-source, licențiat sub GNU GPL
Studio de materiale : modelare și simulare pentru studierea substanțelor chimice și a materialelor, Accelrys Software Inc.
SYMPLER : Un simulator freeware SYMbolic ParticLE de la Universitatea din Fribourg.
SunlightDPD : software open-source (GPL) DPD.

Note și referințe

(ro) PJ Hoogerbrugge și JMVA Koelman , „ Simulating Microscopic Hydrodynamic Phenomena with Dissipative Particle Dynamics ” , EPL (Europhysics Letters) , vol. 19,1 st ianuarie 1992, p. 155 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / 0295-5075 / 19/3/001 , citit online , accesat la 2 august 2016 )
(în) P. Español și P. Warren , „ Mecanica statistică a dinamicii particulelor disipative ” , EPL (Europhysics Letters) , vol. 30,1 st ianuarie 1995, p. 191 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / 0295-5075 / 30/4/001 , citit online , accesat la 2 august 2016 )
(în) P. Español , " Dinamica disipativă a particulelor cu conservarea energiei " , EPL (Europhysics Letters) , vol. 40,15 decembrie 1997( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i1997-00515-8 / meta , citit online , accesat la 4 august 2016 )
(în) J. Bonet Avalos și A. D Mackie , " Dinamica disipativă a particulelor cu conservarea energiei " , Europhysics Letters (EPL) , vol. 40,15 octombrie 1997, p. 141–146 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i1997-00436-6 , citit online , accesat la 4 august 2016 )