Dinamica fasciculelor de particule încărcate

În dinamica particule încărcate grinzi este o disciplină a fizicii care se ocupă cu transportul și optimizarea caracteristicile fasciculului în acceleratoare de particule .

Transportul unei particule încărcate este descris în câmpurile electromagnetice produse de accelerator. Putem deduce proprietățile specifice acceleratorului (în raport cu un tip de particulă) care vor permite definirea:

o particulă de referință care suferă transportul ideal în accelerator și a cărei traiectorie va trebui constrânsă de nevoile utilizatorilor,
un formalism de transport (uneori liniar) în jurul acestei particule de referință pentru particule ne-ideale care trebuie să rămână în cadrul unei acceptări definite de numeroase criterii (dispersie în dimensiune și divergență, curent pierdut admisibil). Această acceptare face posibilă determinarea celor mai bune condiții pentru injecția și transportul fasciculului în accelerator.

Fasciculul de particule se caracterizează prin mărimi statistice (de exemplu: pătratică medie dimensiune ) a cărei evoluție poate fi descrisă analitic în timpul accelerării în condiții de transport simplificate. O simplificare relevantă a parametrilor permite o descriere rapidă și foarte utilă a comportamentului fasciculului pentru definirea și ajustarea elementelor principale ale acceleratorului, cum ar fi magneții sau cavitățile de accelerare.

Frecvent, transportul fasciculului prin accelerator se efectuează utilizând un software dedicat numit coduri de transport. Apoi, este posibil să se transporte fie proprietăți statistice ale fasciculului, fie o eșantionare de macro-particule reprezentând fasciculul, sau funcția de distribuție a fasciculului. Aceste coduri oferă acces la calculul interacțiunilor particulelor cu congenerii lor (încărcarea spațiului), gazul rezidual (difuzie Coulomb, neutralizare, recombinare) sau cu acceleratorul (câmpurile induse în structură). De asemenea, fac posibilă verificarea influenței imperfecțiunilor acceleratorului asupra proprietăților fasciculului.

Transportul unei particule

Reprezentarea unei particule - Spații de fază

Dinamica particulelor poate fi descrisă fie într-un cadru de referință galilean (o bună aproximare a cadrului de referință al laboratorului), fie într-un cadru de referință mobil legat de accelerator.

Reprezentare clasică într-un cadru de referință galilean

O particulă de masă m și sarcină q este descrisă, la momentul t , printr-un punct într-un spațiu de fază cu 6 dimensiuni reprezentând:

poziția sa :

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

deplasarea sa (de exemplu, impulsul său ):

{\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ begin {pmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}}}

Mai general, 6 coordonate (3 de poziție, 3 de deplasare) sunt suficiente pentru a descrie dinamica particulei ca funcție a unei variabile independente date τ (aici timpul).

Reprezentare într-un depozit mobil

Un accelerator de particule este conceput pentru a accelera o particulă de referință (numită particulă sincronă ) care se propagă pe o traiectorie de referință cu o sincronizare foarte precisă. Această cale de referință poate fi liniară ( linac ), circulară ( sincrotron ) sau spirală ( ciclotron ).

Apoi este obișnuit să alegeți ca variabilă independentă τ , nu timpul, ci o abscisă de -a lungul traiectoriei de referință. Abscisa asociată cu o particulă corespunde punctului de intersecție dintre traiectoria de referință și planul normal la această traiectorie care conține particula.

{\ displaystyle \ tau = t \ to s}

În ceea ce privește poziția sa , particula poate fi identificată prin cele 2 coordonate ( x , y ) într-un cadru de referință în mișcare conținut în planul normal la traiectoria de referință. În general, x marchează poziția în plan orizontal (planul de deviere a fasciculului într-un accelerator circular), y în plan vertical. Cealaltă coordonată spațială fiind fixată de s , particulele sunt în cele din urmă diferențiate de momentul lor de tranziție la abscisa s (ca un finisaj foto pe linia de sosire a unei curse). La majoritatea acceleratoarelor care folosesc cavități de frecvență radio de frecvență f , acest timp de sosire este normalizat prin înmulțirea cu 2π · f . Se obține apoi o fază φ care exprimă evoluția câmpului în cavități. Apoi poate fi relevant să se utilizeze diferența de fază Φ dintre particulă și particula sincronă. ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} _ {x}, {\ vec {u}} _ {y} \ right)}$

{\ displaystyle {\ vec {q}} = {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ t \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ varphi \ end { pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ phi = \ varphi - \ varphi _ {s} \ end {pmatrix}}}

În ceea ce privește deplasarea sa , este obișnuit să se aleagă, pentru planul transversal, cele 2 pante x ' și y' pe care le face traiectoria particulei față de traiectoria de referință. Interesul este în măsurarea și interpretarea lor ușoară. Pentru a treia componentă a deplasării, putem găsi, amestecat în sus, impulsul p al particulei, diferența sa relativă în impuls de cea a particulei sincrone δ , energia cinetică a particulei E sau diferența de energie a acesteia cu sincronul particula ΔE .

{\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ begin {pmatrix} p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} p_ {x } \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '= {\ frac {p_ {x}} {p_ {z}}} \\ y' = {\ frac {p_ {y}} {p_ {z}}} \\ p \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '\ y' \\\ delta = {\ frac {p - p_ {s}} {p_ {s}}} \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ E \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x „\\ y” \\\ Delta E = E-E_ {s} \ end {pmatrix}}}

Particula poate fi în cele din urmă reprezentată de un vector cu 6 componente a căror evoluție va fi exprimată în funcție de variabila independentă τ :

{\ displaystyle {\ vec {P}} (\ tau) = {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \\ p_ {1} \\ p_ {2} \ \ p_ {3} \\\ end {pmatrix}}}

Ecuații de mișcare

Depozit de laborator (galilean)

Ecuațiile pentru transportul particulei într-un câmp electromagnetic sunt date de relația fundamentală a dinamicii relativiste: ${\ displaystyle ({\ vec {E}}, {\ vec {B}})}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {d {\ vec {p}}} {dt}} = q \ cdot ({\ vec {E}} + {\ dfrac {\ vec {p}} { \ gamma m}} \ wedge {\ vec {B}}) \\ {\ dfrac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dfrac {\ vec {p}} {\ gamma m} } \ end {cases}}}

γ este energia redusă a particulei (sau a factorului Lorentz (denumire necorespunzătoare în acest caz)) legată de impuls prin relația:

{\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {1 + {\ dfrac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}}}}

. c este constanta fizicii corespunzătoare vitezei luminii în vid.

În cadrul de referință galilean, folosind timpul t ca variabilă independentă, aceste ecuații se aplică direct.

Depozit mobil

În magazia de telefonie mobilă, folosind abscisa s pentru variabila independentă, trebuie să fie făcut unele transformări. Acestea se datorează faptului că vectorii bazei mobile nu sunt neapărat invarianți în timpul transportului. ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} _ {x}, {\ vec {u}} _ {y}, {\ vec {u}} _ {z} \ right)}$

Fie ρ ( s ) raza de curbură a căii de referință în punctul s în plan (prin definiția lui ). Având în vedere că ρ > 0 dacă vectorul arată spre exteriorul virajului , avem: ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} _ {x}, {\ vec {u}} _ {z} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} _ {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} _ {x}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {d {\ vec {u}} _ {x}} {ds}} = {\ dfrac {{\ vec {u}} _ {z}} {\ rho }} \\ {\ dfrac {d {\ vec {u}} _ {y}} {ds}} = {\ vec {0}} \\ {\ dfrac {d {\ vec {u}} _ {z }} {ds}} = - {\ dfrac {{\ vec {u}} _ {x}} {\ rho}} \ end {cases}}}

Mai mult decât atât, e fiind proiecția particulei de pe traiectoria de referință, avem:

{\ displaystyle {\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {p_ {z}} {\ gamma m}} \ cdot \ left (1 + {\ frac {x} {\ rho}} \ right) ^ {- 1}}

Din aceste ultime ecuații și ecuațiile de transport din cadrul de referință galilean, este posibil să se determine ecuațiile care dau derivatele în raport cu s ale fiecărei coordonate a particulelor din spațiul de fază ales.

Oricare ar fi depozitul

În cele din urmă, indiferent de cadrul de referință, dacă τ este variabila independentă ( t sau s ), ecuația de transport vector poate fi scrisă:

{\ displaystyle {\ dfrac {d {\ vec {P}}} {d \ tau}} = {\ vec {F}} ({\ vec {P}}, \ tau)}

Linearizare - transport matricial

În acest paragraf, vom introduce un anumit formalism pentru acceleratoare, și vom alege în mod deliberat Abscisa s pentru variabila independentă. Justificarea este dată mai jos.

Cea mai simplă manipulare a transportului de particule este:

Folosiți coordonatele sale în raport cu particula sincronă ,

{\ displaystyle {\ vec {P}} \ rightarrow {\ vec {P}} - {\ vec {P}} _ {s}}

Linearizați variația forței de restabilire către particula sincronă .

{\ displaystyle F_ {i} ({\ vec {P}}, s) = \ sum _ {j = 1} ^ {6} k_ {i, j} (s) \ cdot P_ {j}}

Se obține apoi ecuațiile de evoluție ale componentelor:

{\ displaystyle {\ dfrac {dP_ {i}} {ds}} = \ sum _ {i = 1} ^ {6} k_ {i, j} (s) \ cdot P_ {j}}

Putem folosi formalismul matricei pentru a transporta particula dintr-un punct s în un punct s + ds :

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \\ p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \\\ end {pmatrix} } _ {s + ds} = {\ begin {pmatrix} 1 + k_ {1,1} \ cdot ds & k_ {1,2} \ cdot ds & k_ {1,3} \ cdot ds & k_ {1, 4} \ cdot ds & k_ {1,5} \ cdot ds & k_ {1,6} \ cdot ds \\ k_ {2,1} \ cdot ds & 1 + k_ {2,2} \ cdot ds & k_ {2,3} \ cdot ds & k_ {2,4} \ cdot ds & k_ {2,5} \ cdot ds & k_ {2,6} \ cdot ds \\ k_ {3,1} \ cdot ds & k_ {3,2} \ cdot ds & 1 + k_ {3,3} \ cdot ds & k_ {3, 4} \ cdot ds & k_ {3,5} \ cdot ds & k_ {3,6} \ cdot ds \\ k_ {4,1} \ cdot ds & k_ {4,2} \ cdot ds & k_ {4,3} \ cdot ds & 1 + k_ {4.4} \ cdot ds & k_ {4.5} \ cdot ds & k_ {4.6} \ cdot ds \\ k_ {5.1} \ cdot ds & k_ {5.2} \ cdot ds & k_ {5.3} \ cdot ds & k_ {5.4} \ cdot ds & 1 + k_ {5.5} \ cdot ds & k_ {5.6} \ cdot ds \\ k_ {6.1} \ cdot ds & k_ {6.2} \ cdot ds & k_ {6.3} \ cdot ds & k_ {6.4} \ cdot ds & k_ {6.5} \ cdot ds & 1 + k_ {6.6} \ cdot ds \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \\ p_ {1} \\ p_ { 2} \\ p_ {3} \\\ end {pmatrix}} _ {s}}$

Este :

{\ displaystyle {\ vec {P}} (s + ds) = T (s + ds \ leftarrow s) \ cdot {\ vec {P}} (s)}

Acest formalism matricial poate fi folosit pentru a merge de la un punct s 0 la un punct s 1 :

{\ displaystyle {\ vec {P}} (s_ {1}) = T (s_ {1} \ leftarrow s_ {0}) \ cdot {\ vec {P}} (s_ {0})}

${\ displaystyle T (s_ {1} \ leftarrow s_ {0})}$ este matricea de transfer între punctul s 0 și punctul s 1 .

În mod formal, poate fi obținut din înmulțirea matricilor pe pași mici ds de la s 0 la s 1 (ceea ce echivalează cu integrarea ecuațiilor de transport pas cu pas):

{\ displaystyle T (s_ {1} \ leftarrow s_ {0}) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {n} T (s_ {0} + i \ cdot { \ frac {s_ {0} + s_ {1}} {n}} \ leftarrow s_ {0} + (i-1) \ cdot {\ frac {s_ {0} + s_ {1}} {n}}) }

Concret, acceleratorul este tăiat într-o succesiune de elemente E i , ale căror matrice de transfer T i sunt cunoscute .

Transportul de la intrarea elementului i la ieșirea elementului j (sau la intrarea elementului j +1, cu j > i ) este apoi dat de matricea de transfer:

{\ displaystyle T (j + 1 \ leftarrow i) = T_ {j} \ cdot T_ {j-1} \ cdots T_ {i + 1} \ cdot T_ {i} = \ prod _ {k = j} ^ { i} T_ {k}}

Prin această metodă, particulele pot fi transportate, element după element, de-a lungul acceleratorului.

Este tocmai pentru că elementele sunt poziționate de-a lungul acceleratorul pe care l - am ales Abscisa s ca variabilă independentă. Utilizarea timpului ca variabilă independentă pune dificultăți deoarece, la un moment dat t , toate particulele nu sunt neapărat în același element al acceleratorului. Ar fi nevoie de o matrice pe particulă !!

Descrierea statistică a unui fascicul

Un fascicul este alcătuit dintr-un număr mare de particule. Deoarece acest număr este adesea foarte mare, este în general imposibil să se urmărească (să se calculeze, dar să se măsoare și) caracteristicile individuale ale fiecărei particule. Descrierea fasciculului este apoi redusă la câteva proprietăți statistice pe care este posibil să le transporte în accelerator. Această reprezentare statistică a fasciculului poate fi realizată în 3 moduri diferite:

Printr-o funcție de distribuție continuă a cărei discretizare este transportată numeric de-a lungul acceleratorului. Această reprezentare face posibilă, de asemenea, în anumite condiții, obținerea distribuțiilor de echilibru analitic pentru fascicul.
Prin macro-particule, mai puțin numeroase decât numărul real de particule, care sunt transportate prin rezolvarea ecuațiilor de mișcare a particulelor (un fel de sunet ). Această tehnică este în esență digitală.
Prin momente de ordine mai mari sau mai mici ale distribuției. Ele pot fi transportate folosind formalisme simple, cum ar fi formalismul matricei .

Ilustrațiile de modelare din codul de transport cu fascicul TraceWIN sunt date în dreapta.

Ele corespund proiecției în 2 subspatiile fazelor (transversale: ( x , x ' ) și longitudinal: (fază, energie)) din aceeași rază, la o dat abscisă s , pentru diferite tipuri de modelare.

Funcția de distribuție

Pentru o valoare dată a variabilei independente τ , un fascicul de particule este definit de funcția de distribuție cu 1 corp a particulelor care îl constituie. Fiecare particulă poate fi reprezentată de 6 coordonate (3 de poziție, 3 de deplasare, modelate de vector ), prin urmare această funcție de distribuție depinde de 6 + 1 (variabilă independentă) variabile. Reprezintă densitatea particulelor în spațiul de fază 6D (poziție-deplasare) pentru o valoare dată de τ : ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$

{\ displaystyle f ({\ vec {P}}, \ tau) \ cdot d {\ vec {P}}}

dă numărul de particule din hipervolumul mic al spațiului de fază situat între și la τ .

{\ displaystyle {\ vec {P}}}

{\ displaystyle {\ vec {P}} + d {\ vec {P}}}

Evoluția acestei funcții de distribuție prin câmpurile electromagnetice ale acceleratorului este o soluție:

fie din ecuația lui Vlassov , dacă 2 particule „aproape” în spațiu suferă o variație lină și continuă a forței,
sau ecuația Fokker-Planck , dacă particulele „se închid” în spațiu pot suferi forțe care diferă puternic (coliziune). În acest caz, termenii Fokker-Planck modelează aceste interacțiuni printr-o difuzie continuă a funcției de distribuție. Această difuzie corespunde efectului multor coliziuni mici. Acesta poate fi cazul, de exemplu, cu coliziunile Coulomb particule-particule, coliziuni cu gaz rezidual sau emisia de radiații sincrotrone .
sau ecuația lui Boltzmann , dacă modelarea simplă prin difuzie continuă nu este suficientă (de exemplu, coliziuni la unghiuri mari).

Alegerea ecuației va depinde de densitatea, de mediu sau / și de durata de viață a fasciculului, dar și de pasul de discretizare a funcției de distribuție (spațiu, deplasare și timp care face posibilă definirea conceptului de „închidere” ") în rezoluție digitală.

Macro-particule

Fasciculul, alcătuit din N particule, este sub-eșantionat de un set de n macro-particule ( n < N ) care au o încărcare macro mai mare cu un factor N / n (pentru calculul câmpurilor induse), dar care suferă aceeași dinamică ca și particulele fasciculului (vezi mai sus).

Transportul acestor macroparticule este simulat folosind software. Proprietățile fasciculului și câmpurile electromagnetice induse pot fi calculate din acest eșantion de macroparticule.

NB: Chiar dacă am putea simula N particule, acesta ar rămâne un model statistic deoarece condițiile inițiale reale ale fiecărei particule nu pot fi niciodată măsurate și nu sunt, în niciun caz, reproductibile.

Timpii de distribuție

Din distribuția particulelor, este posibil să se calculeze, pentru un τ dat, valoarea medie a unei funcții A a coordonatelor spațiului de fază:

{\ displaystyle {\ begin {align} <A ({\ vec {P}})> & = {\ frac {1} {N}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {N} A ({ \ vec {P}} _ {i} (\ tau)) \\\ & = {\ frac {\ iint A ({\ vec {P}}) \ cdot f ({\ vec {P}}, \ tau ) \ cdot d {\ vec {P}}} {\ iint f ({\ vec {P}}, \ tau) \ cdot d {\ vec {P}}}} \ end {align}}}

Cele 6 coordonate ale centrului de greutate al fasciculului în spațiul de fază sunt date de momentele de ordine 1 ale distribuției:

{\ displaystyle {\ bar {P}} _ {i} = <P_ {i}>}

;

Dimensiunile pătrate ale rădăcinii medii ale fasciculului în spațiul de fază sunt date de momentele centrate de ordinul secund al distribuției:

{\ displaystyle \ sigma _ {i, i} = {\ sqrt {<(P_ {i} - {\ bar {P}} _ {i}) ^ {2}>}}}

Ele corespund, pentru fiecare direcție a spațiului de fază, cu rădăcina pătrată a mediei pătratelor distanțelor tuturor particulelor de la centrul de greutate al fasciculului. Au dimensiunea spațiului de fază. Sunt cu atât mai mari cu cât distribuția este răspândită în spațiul fazelor. În acest sens, ele dau o „măsură” a răspândirii distribuției particulelor.

Fasciculul poate fi definit printr-o matrice 6 × 6, notată σ , oferind setul de momente de ordinul 2 centrate în distribuția particulelor:

{\ displaystyle \ sigma _ {i, j} = <(P_ {i} - {\ bar {P}} _ {i}) \ cdot (P_ {j} - {\ bar {P}} _ {j} )>}

Această matrice este simetrică. Găsim pătratul dimensiunilor medii pătratice pe diagonala sa. Din punct de vedere statistic, aceasta este matricea de covarianță a distribuției fasciculului.

Coduri de transport

Note și referințe