Dualul unui modul
În algebra comutativă și mai general în teoria inelului , noțiunea de dual al unui modul generalizează pe cea a dualului unui spațiu vectorial .
Dualul unui modul A cu privire la un modul B (pe un inel R ) este multimea de morfisme A în B . Se notează Hom ( A, B ). În cazul în care modulul B nu este specificat, în mod implicit, se consideră că acest inel R . Hom dual ( A , R ) este pur și simplu numit „dual de A ” și notat A *.
Definiție
Dacă A și B sunt două module pe stânga pe un inel R , mulțimea Hom ( A, B ) a morfismelor de la A la B este un grup pentru adunare.
Dacă B nu este doar un modul din stânga, ci un bimodul (adică dacă este prevăzut și cu o structură de modul în dreapta, compatibilă cu cea din stânga), atunci Hom ( A, B ) este dotat în mod natural cu o structură de modul pe dreapta. Acesta este întotdeauna cazul dacă inelul R este comutativ. Dacă nu este, putem considera bimodulul particular B = R :
Dualul A * al unui modul R din stânga A este modulul R din dreapta Hom ( A , R ).
(La fel, dualul unui modul R dreapta A este modulul R stâng Hom ( A , R ).)
Elementele cu dublă A * sunt liniare formele pe A .
Proprietăți
Bidual
Bidual a A este dualul dualul A . Există un morfism natural al modulelor lui A în bidual, dar bidualul lui A nu este în general izomorf pentru A , chiar și în cazul spațiilor vectoriale .
Suma directă și produsul
Conform definiției lor generale , produsul direct și suma directă a modulelor satisfac următoarea proprietate universală :
Dualul inelului
- Hom ( R , B ) = B . În particular, Hom ( R , R ) = R . Inelul R este propriul său dual.
- Mai general, în conformitate cu paragraful anterior, Hom ( R j , B ) = B j .