Diferențe împărțite
În matematică , diferențele împărțite corespund unei discretizări a derivatelor succesive ale unei funcții. Acestea sunt cantități definite și calculate recursiv prin generalizarea formulei ratei de creștere . Acestea sunt utilizate în special în interpolare newtoniană .
Definiție
Având în vedere punctelenu+1{\ displaystyle n + 1}
(X0,y0),...,(Xnu,ynu),{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n}),}pe coordonatele x separate, diferențele împărțite sunt definite după cum urmează:
[yν]=yν(ν=0,...,nu){\ displaystyle [y _ {\ nu}] = y _ {\ nu} \ qquad (\ nu = 0, \ ldots, n)}
[yν,...,yν+j]=[yν+1,...yν+j]-[yν,...yν+j-1]Xν+j-Xν(j=1,...,nu,ν=0,...,nu-j).{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j}] = {\ frac {[y _ {\ nu +1}, \ ldots y _ {\ nu + j}] - [y _ {\ nu}, \ ldots y _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}} \ qquad (j = 1, \ ldots, n, \ qquad \ nu = 0, \ ldots, nj).}
Pentru orice funcție precum , observăm uneori diferența divizată .
f{\ displaystyle f}yeu=f(Xeu)(eu=0,...,nu){\ displaystyle y_ {i} = f (x_ {i}) \ qquad (i = 0, \ ldots, n)}f[X0,...,Xnu]{\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}[y0,...,ynu]{\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {n}]}
Proprietăți
Conform teoremei de interpolare a lui Newton , diferența împărțită punctelor asociate este egală cu coeficientul de grad al polinomului de interpolare Lagrange a acestor puncte. Cu alte cuvinte :
nu+1{\ displaystyle n + 1}nu{\ displaystyle n}
[y0,...,ynu]=∑j=0nuyj∏0≤eu≤nu,eu≠j(Xj-Xeu){\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {n}] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {y_ {j}} {\ prod _ {0 \ leq i \ leq n, \, i \ neq j} (x_ {j} -x_ {i})}}}.
Această egalitate are consecințe remarcabile:
-
invarianță prin permutarea indicilor :;f[Xσ(0),...,Xσ(nu)]=f[X0,...,Xnu](σ∈S{0,...,nu}){\ displaystyle f [x _ {\ sigma (0)}, \ dots, x _ {\ sigma (n)}] = f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] \ quad (\ sigma \ în S_ {\ {0, \ dots, n \}})}
-
Liniaritate : ;(laf+bg)[X0,...,Xnu]=laf[X0,...,Xnu]+bg[X0,...,Xnu]{\ displaystyle (af + bg) [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = a \, f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] + b \, g [x_ {0 }, \ dots, x_ {n}]}
-
Regula Leibniz : ;(fg)[X0,...,Xnu]=∑j=0nuf[X0,...,Xj]g[Xj,...,Xnu]{\ displaystyle (fg) [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} f [x_ {0}, \ dots, x_ {j}] g [ x_ {j}, \ dots, x_ {n}]}
-
teorema medie : pentru n ≥ 1 și , dacă este din clasa C n –1 activată și are o derivată n -a activată , există astfel încâtX0<⋯<Xnu{\ displaystyle x_ {0} <\ dots <x_ {n}}f{\ displaystyle f}[X0,Xnu]{\ displaystyle [x_ {0}, x_ {n}]}]X0,Xnu[{\ displaystyle] x_ {0}, x_ {n} [}vs.∈]X0,Xnu[{\ displaystyle c \ in] x_ {0}, x_ {n} [}f[X0,...,Xnu]=f(nu)(vs.)nu!{\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = {\ frac {f ^ {(n)} (c)} {n!}}}.
Exemple
Primele iterații oferă:
Comanda 0:
[y0]=y0{\ displaystyle [y_ {0}] = y_ {0}}
Comanda 1:
[y0,y1]=y1-y0X1-X0{\ displaystyle [y_ {0}, y_ {1}] = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}
Comanda 2:
[y0,y1,y2]=y2-y1X2-X1-y1-y0X1-X0X2-X0{\ displaystyle [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] = {\ frac {{\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} {x_ {2} -x_ {0}}}}
Pentru a face explicit procesul recursiv, diferențele împărțite pot fi calculate prin aranjarea lor după cum urmează într-un tabel:
X0y0=[y0][y0,y1]X1y1=[y1][y0,y1,y2][y1,y2][y0,y1,y2,y3]X2y2=[y2][y1,y2,y3][y2,y3]X3y3=[y3]{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {0} & y_ {0} = [y_ {0}] &&& \\ && [y_ {0}, y_ {1}] && \\ x_ {1} & y_ { 1} = [y_ {1}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & \\ && [y_ {1}, y_ {2}] && [y_ {0}, y_ { 1}, y_ {2}, y_ {3}] \\ x_ {2} & y_ {2} = [y_ {2}] && [y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & \ \ && [y_ {2}, y_ {3}] && \\ x_ {3} & y_ {3} = [y_ {3}] &&& \\\ end {matrix}}}În cazul în care abscisele sunt în progresie aritmetică , diferențele împărțite sunt legate de diferențele finite , definite de
Δh0[f]=fși△hnu+1[f](X)=△hnu[f](X+h)-△hnu[f](X){\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {0} [f] = f \ quad {\ text {și}} \ quad \ triangle _ {h} ^ {n + 1} [f] (x) = \ triangle _ {h} ^ {n} [f] (x + h) - \ triangle _ {h} ^ {n} [f] (x)},
după relație (imediată prin inducție):
f[X,X+h,...,X+nuh]=1nu!hnu△hnu[f](X){\ displaystyle f [x, x + h, \ ldots, x + nh] = {\ frac {1} {n! h ^ {n}}} \ triangle _ {h} ^ {n} [f] (x )}}.
Cerere
Diferențele împărțite intervin în formularea teoremei de interpolare a lui Newton , care oferă o expresie specială a polinomului de interpolare Lagrange , permițând, de exemplu, să demonstreze că orice funcție polinomială este egală cu seria sa de Newton .
Vezi și tu
Link extern
Interpolarea polinomului (sic) de tip Newton și diferențele divizate
Credit de autor
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Diferențe divizate ” ( vezi lista autorilor ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">