Densitatea stărilor electronice

În fizica stării solide și fizica materiei condensate , densitatea stărilor electronice , în engleză Density of States sau DOS, cuantifică numărul stărilor electronice susceptibile de a fi ocupate și având o anumită energie în materialul considerat. Acesta este , în general notat cu literele de la g , ρ, D , n sau N . Mai precis, densitatea stărilor este definită de faptul că este numărul de stări electronice disponibile, cu o energie între și , pe unitate de volum a solidului sau pe unitate de celulă a cristalului studiat. Conceptul de densitate a stărilor există pentru bosoni ( fotoni , fononi etc.), precum și fermioni. Această cantitate poate fi calculată atâta timp cât relația de dispersie este cunoscută. ${\ displaystyle N (E)}$ ${\ displaystyle N (E) dE}$ $E$ ${\ displaystyle E + dE}$

Densitatea stărilor este egală cu integrala funcției spectrale pe prima zonă Brillouin și este scrisă în cazul unui sistem tridimensional:

{\ displaystyle D (E) = \ int _ {\ mathrm {PZB}} {\ frac {d ^ {3} \ mathbf {k}} {(2 \ pi) ^ {3}}} A (\ mathbf { k}, E)}

Această cantitate este de mare folos în fizica experimentală, deoarece este direct măsurabilă, spre deosebire de funcția de undă . Teoria funcțională Densitate (DFT densitate Teoria funcțională în limba engleză) oferă o bună aproximare a densității de stări pentru multe materiale, în special cele în care electronii nu sunt puternic corelate.

Introducere

Particulele unui sistem cuantic pot ocupa stări a căror lungime de undă și direcție de propagare depind de sistemul menționat. În general, sunt permise doar anumite stări specifice: structura cristalină a unui material impune condiții pe direcțiile permise de propagare, în timp ce în unele sisteme distanța interatomică sau sarcina atomică pot dicta lungimile de undă admise. Prin urmare, se poate întâmpla să existe un număr mare de stări disponibile la o energie, în timp ce niciuna nu este disponibilă la o altă energie.

Într-un semiconductor , densitatea stărilor electronice prezintă o discontinuitate care marchează separarea dintre banda de valență și banda de conducție. Prin urmare, nu există un stat disponibil în acest decalaj. O creștere a energiei pentru un electron din banda de conducere duce la o creștere a stărilor disponibile, dar pentru a accesa banda de valență trebuie să piardă cel puțin energia decalată a materialului.

Densitatea stărilor electronice poate fi la fel de bine exprimată în funcție de energie ca și de vectorul de undă . Pentru a converti de la unul la altul este necesar să cunoaștem relația de dispersie a sistemului. ${\ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle (E, \ mathbf {k})}$

În general, proprietățile topologice ale sistemului au un impact major asupra proprietăților densității stărilor. Sisteme precum neutroniul din stelele de neutroni sau gazul liber de electroni din metale (acestea sunt exemple de materie degenerată și gaz Fermi) au o topologie euclidiană tridimensională. Sisteme mai puțin obișnuite, cum ar fi gazul electronic bidimensional din grafen și efectul cuantic Hall în MOSFET-uri au o topologie euclidiană bidimensională. Chiar și sistemele mai puțin familiare precum nanotuburile de carbon și „firele cuantice” și „lichidele Luttinger” au de partea lor o topologie euclidiană unidimensională.

Simetria și densitatea stărilor

Densitatea stărilor electronice poate fi calculată pentru o mare varietate de sisteme.

Unele sisteme cuantice au simetrie datorită structurii lor cristaline care simplifică calculul DOS. Pentru sistemele cu simetrie sferică, integrala funcției spectrale este unidimensională, deoarece depinde doar de parametrul radial al relației de dispersie. Materialele fluide sau amorfe sunt exemple de sisteme cu simetrie sferică.

Măsurătorile pe probe pulverulente sau policristaline necesită calcularea integralelor pe întregul domeniu, cel mai adesea o zonă Brillouin , a relațiilor de dispersie ale sistemului. Când sistemul are simetrii, calculul este redus la domeniul fundamental indus de acestea.

Zona Brillouin a unei rețele cubice centrate pe față (CFC) are o simetrie aparținând grupului de holoedru O h al grupului de simetrie punctuală . Acest lucru implică faptul că integrarea pe întreaga zonă Brillouin poate fi redusă la un 48 - lea de ea. După cum se arată în tabelul periodic al elementelor, există multe materiale care au simetrie CFC în spațiul real (și, prin urmare, simetria corespunzătoare în spațiul reciproc ), cum ar fi siliciu , diamant și platină .

În general, este mai ușor să calculați densitatea stărilor atunci când simetria sistemului este mare și când dimensiunea topologică a relației de dispersie este mică. Densitatea stărilor pentru relațiile de dispersie cu simetrie de rotație poate fi adesea calculată analitic, ceea ce prezintă un mare interes practic, deoarece multe materiale de interes, cum ar fi oțelul sau siliciul, au o simetrie mare.

Gazele electronice libere

Energia cinetică a unui electron depinde, în general, de modulul și orientarea vectorului de undă , de proprietățile particulei și de mediul în care se mișcă. Așa-numita aproximare a gazelor electronice libere constă în neglijarea interacțiunilor datorate repulsiei Coulomb dintre electroni. ${\ mathbf {k}}$

Relația de dispersie

Relația de dispersie a electronilor într-un solid este dată de structura benzii sale .

Energia cinetică a unui electron într - un gaz Fermi este dată de: unde este masa electronului si redus constanta lui Planck . Relația de dispersie este un paraboloid de revoluție cu simetrie cilindrică, care facilitează calcularea densității electronice a stărilor. Într - adevăr, în aceste condiții, este posibil să se calculeze densitatea de stări electronice prin diferențierea în ceea ce privește volumul de hipersfere razei în reciproce dimensionale spațiu . ${\ displaystyle E = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} \,}$ $m$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $k$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (k)}$ $k$ $nu$

Calculul densității stărilor electronice

Densitatea stărilor electronice depinde de dimensionalitatea problemei. Într-adevăr, pentru electronii liberi densitatea stărilor electronice este dată de:

${\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {d \ Omega _ {n} (E)} {dE}}}$ .

Inversând relația de dispersie, obținem o expresie pentru modulul vectorului de undă în termeni de energie cinetică: Dacă volumul unei hipersfere de rază este dat de unde este volumul unei n-bile de unitate de rază obținem ${\ displaystyle k = {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}}}$ $k$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (k) = c_ {n} k ^ {n} \,}$ ${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}}}$

${\ displaystyle \ Omega _ {n} (E) = c_ {n} {\ frac {(2mE) ^ {n / 2}} {\ hbar ^ {n}}}}$

Derivatul acestui volum în raport cu energia dă expresia densității stărilor electronice pentru un gaz liber de electroni în dimensiuni: $nu$

${\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {d} {dE}} \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {(2 \ pi m \ hbar ^ {- 2 }) ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} E ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}}$

Dacă sunt respectiv volumul, aria și lungimea unei bile n de rază unitară, cele mai frecvente densități ale stărilor electronice sunt exprimate ca: ${\ displaystyle V, S, L}$

În trei dimensiuni, densitatea stărilor este dată de

${\ displaystyle D (E) = {\ frac {V} {2 (\ pi) ^ {2}}} \ left ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {E}}}$

În două dimensiuni, densitatea stărilor este dată de

${\ displaystyle D (E) = {\ frac {S} {\ pi}} {\ frac {m} {\ hbar ^ {2}}}}$

Într-o dimensiune, densitatea stărilor este dată de

${\ displaystyle D (E) = {\ frac {L} {\ pi}} \ left ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2} } {\ frac {1} {\ sqrt {E}}}}$

Referințe

(în) Walter Ashley Harrison, Structura electronică și proprietățile solidelor: fizica legăturii chimice , New York, Dover Publications, 1989, 586 p. ( ISBN 0-486-66021-4 , citit online )