Densitatea spectrală

Densitatea spectrală este un instrument matematic pentru reprezentarea diferitelor componente spectrale ale unui semnal și pentru a efectua analiza armonică . Este utilizat în special în fizică, inginerie și procesarea semnalului.

În fizică și inginerie, semnalul care trebuie studiat corespunde unei mărimi fizice exprimate într-o unitate. În practică, experimentatorul efectuează adesea măsurători de tensiune fină , pe care le reduce la magnitudinea efectiv studiată folosind un coeficient multiplicativ adesea numit convențional K d (unitatea lui K d este deci [V⋅unitatea -1 ]).

Cantitatea fizică reprezentată va avea în mod tipic (dar bineînțeles nu exclusiv), o tensiune U [V] sau un curent I [A] în electronică, o diferență de fază [rad] sau frecvență [Hz] între doi oscilatori în timp / frecvențe (posibil normalizat pentru a da abaterile timpului x sau ale frecvenței normalizate y ), sau chiar o rotație unghiulară [rad] sau o accelerație a (în [ m s -2 ] sau în [gal]) pentru senzorii gravito-inerțiali. $\ phi$ $\ Delta \ nu$ $\ theta$

În cele ce urmează, vom considera, într-un mod destul de general, că semnalul este reprezentat de x ( t ), o funcție reală a variabilei reale (timp), corespunzătoare unei mărimi fizice de dimensiune [unitate].

Densitatea spectrală a energiei

Pentru x de pătrat însumabil (și, prin urmare, în special pentru x cu suport mărginit ...), definim transformata Fourier (TF) X ( f ) a x ( t ) prin:

X (f) {\ stackrel {\ Delta} {=}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} x (t) e ^ {{- 2 \ pi ift}} dt

Este a priori o funcție complexă a variabilei reale și, invers, avem:

x (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} X (f) e ^ {{2 \ pi ift}} df

Densitatea de energie spectrală a semnalului x este apoi definită de:

{\ displaystyle {\ rm {DSE}} \; {\ stackrel {\ Delta} {=}} \; | X (f) | ^ {2} = X (f) X ^ {*} (f)}

a cărei unitate este [unitatea 2 ⋅s 2 ], mai des exprimată în [unitatea 2 ⋅s⋅Hz -1 ].

Teorema Parseval-Plancherel asigură apoi acest lucru

W = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} x ^ {2} (t) dt = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} | X (f) | ^ {2} df

Cantitatea W se numește în mod convențional energia totală a semnalului , exprimată în [unitatea 2 .s]. Motivul este că, pentru o mărime fizică reprezentând o tensiune [V] sau chiar un curent [A], putem presupune în mod canonic că această mărime este măsurată la terminale sau printr-o rezistență de 1 ohm. Energia totală disipată (prin efect Joule ) în acest rezistor de 1 ohm este apoi efectiv W (în jouli), ceea ce justifică terminologia utilizată. Pentru alte tipuri de magnitudine fizică, relația cu o energie în sens fizic (în jouli) nu este neapărat canonică, dar prin extensie terminologia a rămas. În plus, și în consecință, puterea instantanee a semnalului x (exprimat în [unitate 2 ]) va fi numită convențional x 2 ( t ), din moment ce suma sa temporală este egală cu energia totală.

Dacă x corespunde unui proces stochastic, densitatea de energie spectrală este de fapt definită de așteptarea matematică (dacă există):

{{\ rm {DSE}}} \; {\ stackrel {\ Delta} {=}} \; E \ left [| X (f) | ^ {2} \ right]

Densitatea spectrală a puterii

Dacă x ( t ) nu este un pătrat sumabil (care este cazul pentru majoritatea proceselor stochastice staționare), X ( f ) nu este definit în sensul funcțiilor (poate fi definit totuși în sensul distribuțiilor ): energia totală este de obicei infinit (din nou, acest lucru este valabil pentru majoritatea proceselor stochastice staționare).

Apoi definim o versiune trunchiată x T ( t ) a x ( t ) prin:

x_ {T} (t) \; {\ stackrel {\ Delta} {=}} \; \ left \ lbrace {\ begin {array} {ccc} x (t) & {{\ rm {for}}} & | t | \ leq T \\ 0 & {{\ rm {pour}}} & | t |> T \\\ end {array}} \ right.

Avem atunci . $\ lim _ {{T \ to \ infty}} x_ {T} (t) = x (t)$

Funcția trunchiată x T are un pătrat sumabil (deoarece suportul său este delimitat) și TF-ul său este exprimat în [unit⋅s]. $X_ {T} (f)$

Dacă x reprezintă un proces stochastic, definim densitatea spectrală de putere DSP (dacă există) prin:

S_x (f) \ stackrel {\ Delta} {=} \ lim_ {T \ to \ infty} \ frac {\ mathbb E \ left [| X_T (f) | ^ 2 \ right]} {2T}

, exprimat în unitate [unitate 2 ⋅s] sau, cel mai adesea [unitate 2 / Hz] (rețineți că X T ( f ) este exprimat în [unitate⋅s]).

Rețineți că nu putem lua limita înainte de a lua media , deoarece , în general, nu există în sensul funcțiilor. Într-adevăr, dacă x ( t ) reprezintă o singură realizare a unui proces stochastic, | X T ( f ) | 2 /2 T Daruri oscilații din ce în ce mai rapid atunci când T crește ( «buruienilor din ce în ce dens"), și , prin urmare , nu admite nici o limită atunci când ( a se vedea în aceasta estimarea spectrală a unui DSP folosind un periodogram). ${\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} | X_ {T} (f) | ^ {2} / 2T}$ $T \ to \ infty$

Pentru un proces stochastic staționar , teorema Wiener-Khintchine arată că:

S_ {x} (f) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} R _ {{xx}} (\ tau) e ^ {{- 2 \ pi if \ tau}} d \ tau

și, prin urmare, că invers: $R _ {{xx}} (\ tau) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} S_ {x} (f) e ^ {{2 \ pi if \ tau}} df$

unde R xx ( ) este definit ca funcția de autocorelare a lui x : $\ tau$

R_ {xx} (\ tau) \; \ stackrel {\ Delta} {=} \; \ mathbb E \ left [x (t) \ cdot x (t + \ tau) \ right]

(care este independent de t pentru un proces staționar, aproape prin definiție).

Teorema Wiener-Khintchine este atât de strâns legată de definiția și utilizarea densității spectrale de putere încât unii autori definesc direct DSP prin transformarea Fourier a autocorelației semnalului. Această abordare trivializează apoi teorema Wiener-Khintchine.

Un alt concept foarte utilizat este cel al densității spectrale de putere unilaterale . Într-adevăr, deoarece x este o funcție reală, autocorelația sa R xx este o funcție chiar reală, iar PSD S x ( f ) este o funcție reală, pozitivă și uniformă. Fără pierderea informațiilor, densitatea spectrală de putere unilaterală S x OS ( f ) (OS înseamnă „ Unilateral ”) este definită ca:

S_x ^ {\ text {OS}} (f) = S_x (f) + S_x (-f) = 2 S_x (f)

pentru f pozitiv sau zero.

Fără alte clarificări, atunci când vorbim de „densitate spectrală”, în mod normal, dorim să vorbim despre S x OS ( f ). Cu toate acestea, unii autori pot vorbi despre „densitatea spectrală a puterii pe două fețe” fără să o explice și trebuie să se acorde cea mai mare prudență. În orice caz, un contor care returnează o estimare a PSD utilizând un eșantion de date indică PSD unilateral. Acesta este cazul în special cu un analizor de transformare rapidă Fourier (FFT) utilizat în mod obișnuit în electronică pentru evaluarea DSP-urilor.

Cel mai adesea, pentru a exprima acest DSP unilateral, folosim unități logaritmice și îl exprimăm în [dB (unitate 2 / Hz)], unde valoarea în dB este egală cu 10 log 10 din valoarea în unități „liniare”. . De asemenea, găsim notațiile [dB (unitate / rtHz)] sau [dB (unitate_rms / rtHz)] pentru aceeași cantitate.

Estimarea densității spectrale de putere

În practică, orice proces este măsurat pentru un timp finit și, prin urmare, avem acces doar la un eșantion finit de date corespunzător semnalului. În plus, cel mai adesea, se are acces doar la o singură realizare experimentală și pentru un proces stochastic staționar trebuie să se utilizeze ipoteza ergodică pentru a deduce un comportament din acesta pe un număr mare de realizări experimentale. Prin urmare, se poate estima PSD doar dintr-un eșantion limitat de date. Există mai multe metode numerice, toate afectate de erori mai mult sau mai puțin enervante și va fi necesar să alegeți metoda cea mai potrivită în funcție de natura datelor înregistrate (eșantionare regulată sau nu, de exemplu ...) și caracteristica DSP că ne angajăm cel mai mult să măsurăm (prioritate la rezoluție sau precizia măsurării ...).

Iată o listă neexhaustivă a tehnicilor utilizate pentru estimarea unui PSD dintr-un eșantion limitat de date:

bazat pe Parodogramă, calculat prin Transformată Fourier discretă. Aceasta este de departe cea mai clasică metodă. Necesită eșantionare regulată. Sunt posibile mai multe variante ( fereastră , împărțirea în sub-segmente de date cu sau fără suprapunere și mediere etc.). Foarte sintetic, ideea de aici este, pentru un singur semnal, eșantionat (la fiecare dt secunde) pentru un timp total T = Nxdt (unde N este numărul total de eșantioane disponibile), pentru a descompune intervalul [0, T] în M subseturi de dimensiuni identice (M trebuie să fie divizorul lui N). Calculul transformării Fourier discrete a eșantioanelor N / M ale fiecărui subset dă M periodograme. Prin ipoteza ergodică , media parodogramelor M oferă o estimare bună a densității spectrale de putere atunci când M tinde spre infinit, aceasta este metoda Welch. Tehnica ferestrei vizează îmbunătățirea estimării date de această metodă atunci când numărul de periodograme medii este limitat. Constă în înmulțirea datelor fiecăruia dintre segmentele M cu o fereastră de apodizare (care tinde spre zero pe marginile din stânga și din dreapta eșantionului) de formă variabilă în funcție de caracteristica DSP în care ne interesează cel mai mult. Cele mai utilizate ferestre (cel puțin în instrumentele de tip analizor FFT) sunt ferestrele Barlett, Hann (sau Hanning), Hamming și Blackman-Harris (sau Blackman). În plus, media poate fi îmbunătățită și prin descompunerea eșantionului total în subseturi suprapuse.
ARMA
Multitaper (util pentru reducerea prejudecății de estimare atunci când numărul eșantioanelor este redus)
Analiza spectrală a celor mai mici pătrate (LSSA), ajustăm datele prin sinusuri și cosinusuri de frecvențe fixe ... utile dacă eșantionarea nu este regulată.
Estimarea spectrului prin maximizarea entropiei (bazată pe teoria lanțului Markov)

Note și referințe

„ ANALIZA SEMNALELOR ALEGARE ȘI IDENTIFICAREA VIBRAȚIEI LINEARE ȘI A SISTEMELOR ACUSTICE ” [PDF] , pe upmc.fr ,2014(accesat la 16 iunie 2019 )

Vezi și tu

Legături interne

linkuri externe