Cubul Ierusalimului

Jerusalem Cube este un solid fractal descoperit de Eric Baird. Construcția sa este apropiată de cea a buretelui Menger , dar spre deosebire de acesta din urmă, raportul său de omotitate nu este întreg sau fracționat și fiecare iterație creează elemente autosimile de rang n + 1 și n + 2 Este numit astfel datorită asemănării cu crucea Ierusalimului .

Definiție formală

Să fie raportul de omotitate:

k=2-1{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1}

Fie cei opt vectori de traducere pentru pozițiile celor opt cuburi de rangul 1 la prima iterație: feu{\ displaystyle f_ {i}}

⋃eu=18feu={(la(1-k),b(1-k),vs.(1-k))/la,b,vs.∈{0,1}}{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {8} f_ {i} = {\ Bigl \ {} {\ bigl (} a (1-k), b (1-k), c (1-k ) {\ bigr)} {\ big /} a, b, c \ in \ {0,1 \} {\ Bigr \}}}

Fie cei doisprezece vectori de traducere să fie pozițiile celor douăsprezece cuburi de rangul 2 la prima iterație: gj{\ displaystyle g_ {j}}

⋃j=112gj={(la,b,vs.)/la,b,vs.∈{0,k,1-k2} și exact unul dintre la,b,vs. in valoare de k}{\ displaystyle \ bigcup _ {j = 1} ^ {12} g_ {j} = {\ Bigl \ {} {\ bigl (} a, b, c {\ bigr)} {\ big /} a, b, c \ in \ {0, k, 1-k ^ {2} \} {\ mbox {și exact unul dintre}} a, b, c {\ mbox {merită}} k {\ Bigr \}}}

Operația de translație a vectorului v a unui set C de puncte p of este definită de: R3{\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Tv(VS)={p+v/p∈VS} sau p+v corespunde cu (p0+v0,p1+v1,p2+v2){\ displaystyle T_ {v} (C) = {\ Bigl \ {} p + v {\ big /} p \ în C {\ Bigr \}} {\ mbox {unde}} p + v {\ mbox {se potrivește către}} (p_ {0} + v_ {0}, p_ {1} + v_ {1}, p_ {2} + v_ {2})}

Operația de omotitate a raportului r a unui set C de puncte p de este definită de: R3{\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Hr(VS)={rp/p∈VS} sau rp corespunde cu (rp0,rp1,rp2){\ displaystyle H_ {r} (C) = {\ Bigl \ {} rp {\ big /} p \ în C {\ Bigr \}} {\ mbox {unde}} rp {\ mbox {coincide}} (rp_ {0}, rp_ {1}, rp_ {2})}

Să fie cubul unității:

VS0={p=(X,y,z)∈[0,1]3 în R3}{\ displaystyle C_ {0} = {\ Bigl \ {} p = {\ bigl (} x, y, z {\ bigr)} \ in \ left [0,1 \ right] ^ {3} {\ mbox { în}} \ mathbb {R} ^ {3} {\ Bigr \}}}

Cubul Ierusalimului de iterație n este definit de:

VSnu={⋃eu=18Tfeu(Hk(VSnu-1))}⋃{⋃j=112Tgj(Hk2(VSnu-1))}{\ displaystyle C_ {n} = {\ Bigl \ {} \ bigcup _ {i = 1} ^ {8} T_ {f_ {i}} {\ bigl (} H_ {k} (C_ {n-1}) {\ bigr)} {\ Bigr \}} \ bigcup {\ Bigl \ {} \ bigcup _ {j = 1} ^ {12} T_ {g_ {j}} {\ bigl (} H_ {k ^ {2} } (C_ {n-1}) {\ bigr)} {\ Bigr \}}}

Cubul Ierusalimului este în sfârșit:

VS=⋂nu∈NUVSnu{\ displaystyle C = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} C_ {n}}

Este, de asemenea, limita când n tinde spre infinit, pentru că avemVSnu{\ displaystyle C_ {n}}VSnu∩VSnu-1=VSnu{\ displaystyle C_ {n} \ cap C_ {n-1} = C_ {n}}

Constructie

Construcția cubului Ierusalimului poate fi descrisă fără a explica raportul său de omotitate:

1. Începeți cu un cub.
2. Pe fiecare față, găuriți o cruce prin întregul cub, astfel încât să păstrați în colțurile cubului inițial opt cuburi de rangul următor (+1) și în extensia fiecărei ramuri a crucii un cub de rang +2 care s 'este inserat între cuburile de rang +1. Fiecare cub de rang +2 are o margine aliniată și centrată pe una dintre marginile cubului inițial. Raportul laturilor unui cub de rang +1 la cele ale cubului inițial este egal cu raportul laturilor cuburilor de rang +2 la cele de rang +1, această constrângere determină lungimea și lățimea ramurilor a crucii.
3. Repetați operația pe cuburile de rang +1 și +2

Fiecare iterație pe un cub adaugă opt cuburi de rang +1 și doisprezece cuburi de rang +2, adică o înmulțire cu douăzeci ca pentru buretele Menger, dar cu două dimensiuni diferite de cub.

După un număr infinit de iterații, solidul obținut este cubul Ierusalimului.

Proprietăți

Raportul de omotitate pentru autosimilaritatea cubului Ierusalimului este calculat din observarea uneia dintre fețele cubului. Obținem un număr irațional, spre deosebire de multe alte fractale care au raporturi întregi sau fracționare.

Această particularitate implică faptul că cubul nu poate fi construit pe baza unei rețele.

Acest raport irațional de omotitate contrastează cu simplitatea aparentă a construcției cubului, care nu folosește alte unghiuri decât unghiurile drepte.

Calculul raportului de omotitate

Fie c n lungimea laturii cubului component de rang n .

În lățimea unui cub component avem doi cuburi de rang +1 și un cub de rang +2, latura unui cub de rangul n este deci:

vs.nu=2vs.nu+1+vs.nu+2{\ displaystyle c_ {n} = 2c_ {n + 1} + c_ {n + 2}}

Prin construcție avem un raport constant de la un rang la altul:

k=vs.nu+1vs.nu=vs.nu+2vs.nu+1{\ displaystyle k = {\ frac {c_ {n + 1}} {c_ {n}}} = {\ frac {c_ {n + 2}} {c_ {n + 1}}}}

Deducem raportul de omotitate k  :

k=2-1≃0,414{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1 \ simeq 0.414}

Dimensiunea Hausdorff

Pentru a calcula dimensiunea Hausdorff a cubului Ierusalimului, folosim raportul de omotitate:

k=2-1{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1}

și luând din nou schema de construcție a cubului, toate disjuncte, se întâmplă ca dimensiunea cubului d să satisfacă:

8kd+12k2d=1{\ displaystyle 8k ^ {d} + 12k ^ {2d} = 1}

deci o dimensiune Hausdorff care este egală cu exact:

d=ln⁡(76-13)ln⁡(2-1)≃2,529{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln ({\ frac {\ sqrt {7}} {6}} - {\ frac {1} {3}})} {\ ln ({\ sqrt {2}} -1)}} \ simeq 2.529}

Rețineți că este mai mic decât cel al buretelui Menger , aproximativ 2.7268.

Anexe

Articole similare

• Burete Menger
• Lista fractalelor după dimensiunea Hausdorff

linkuri externe

• (ro) Pagina de prezentare a cubului Ierusalimului

Bibliografie

• Revista Tangente nr. 150 despre arta fractală, ianuarie-februarie 2013, p.  45

Referinţă

1. Revista Tangente nr. 150, Fractal Art (2013), p.  45 .
2. Eric Baird, „  Cubul Ierusalimului  ” , Alt.Fractals,18 august 2011(accesat pe 13 martie 2013 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">