Criteriul de ireductibilitate al lui Cohn
În aritmetica polinomială , criteriul de ireductibilitate al lui Cohn este o condiție suficientă pentru ca un polinom cu coeficienți întregi să fie ireductibil .
State
Dacă un număr prim p este scris în baza zece în formă
p=lam10m+lam-110m-1+⋯+la110+la0 cu 0≤lak≤9{\ displaystyle p = a_ {m} 10 ^ {m} + a_ {m-1} 10 ^ {m-1} + \ dots + a_ {1} 10 + a_ {0} {\ text {cu}} 0 \ leq a_ {k} \ leq 9}
apoi polinomul
lamXm+lam-1Xm-1+...+la1X+la0{\ displaystyle a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0}}
este ireductibil în .Z[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}![\ mathbb {Z} [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
Această teoremă se generalizează la alte baze :
Pentru orice număr întreg b ≥ 2, un polinom de formăP(X)=lamXm+lam-1Xm-1+...+la1X+la0 cu 0≤lak≤b-1{\ displaystyle P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} {\ text {cu }} 0 \ leq a_ {k} \ leq b-1}
este ireductibil de îndată ce P ( b ) este prim.Z[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}
Note istorice
Versiunea de bază 10 este atribuită lui Arthur Cohn - student al lui Issai Schur - de Pólya și Szegő și generalizarea acesteia la orice bază b ≥ 2 se datorează lui Brillhart , Filaseta și Odlyzko .
În 2002, domnul Ram Murty (în) a furnizat o dovadă simplificată și detalii istorice ale acestei teoreme, demonstrând, de asemenea, următoarea variantă:
Fie și .P(X)=lamXm+lam-1Xm-1+...+la1X+la0∈Zm[X]{\ displaystyle P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} \ in \ mathbb { Z} _ {m} [X]}
H=max0≤eu<m|laeu/lam|{\ displaystyle H = \ max _ {0 \ leq i <m} | a_ {i} / a_ {m} |}
Dacă există un număr întreg b ≥ H + 2 astfel încât P ( b ) să fie prim, atunci P este ireductibil pe ℤ.
Demonstrație
Motivul prin contrapunere , presupunând că P poate fi redus și arată că atunci, pentru orice număr întreg b ≥ H + 2 , P ( b ) este compus .
Fie deci astfel încât P = QR .
Î,R∈Z[X]∖{-1,0,1}{\ displaystyle Q, R \ in \ mathbb {Z} [X] \ setminus \ {- 1,0,1 \}}![{\ displaystyle Q, R \ in \ mathbb {Z} [X] \ setminus \ {- 1,0,1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaab0ed3f5dfe2cc3a8233bae3171ae57808eac)
- Dacă Q nu este constant, atunci cu, deoarece fiecare este o rădăcină a lui P , (cf. Rădăcina unui polinom real sau complex # A prima estimare ), prin urmare .Î=vs.∏eu(X-αeu){\ displaystyle Q = c \ prod _ {i} (X- \ alpha _ {i})}
αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}
|αeu|<H+1{\ displaystyle | \ alpha _ {i} | <H + 1}
|Î(b)|≥∏eu(b-|αeu|)>∏eu(H+2-H-1)=1{\ displaystyle | Q (b) | \ geq \ prod _ {i} (b- | \ alpha _ {i} |)> \ prod _ {i} (H + 2-H-1) = 1}![{\ displaystyle | Q (b) | \ geq \ prod _ {i} (b- | \ alpha _ {i} |)> \ prod _ {i} (H + 2-H-1) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274273529a42c7005fec7d6494cbc8a0f7048def)
- Dacă Q este constant atunci și evident că încă avem | Q ( b ) | > 1 .Î∈Z∖{-1,0,1}{\ displaystyle Q \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}
![{\ displaystyle Q \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1b9791736b6a61089b21eb62cb92cef1d3d6f6)
Același raționament pentru R , deci P ( b ) = Q ( b ) R ( b ) cu | Q ( b ) |, | R ( b ) | > 1 .
Note și referințe
(
fr ) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Criteriul de ireductibilitate al lui Cohn ” (a se vedea lista autorilor ) .
-
Nu vă confundați cu Paul Cohn .
-
(în) „ Arthur Cohn ” , pe site-ul web al Mathematics Genealogia Project .
-
(De) George Pólya și Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , vol. II, Springer ,1971, A 4- a ed. ( 1 st ed. 1925) ( linia citit ) , p. 351- traducere: (en) George Pólya și Gábor Szegő, Probleme și teoreme în analiză , vol. II, Springer,1976( citiți online ) , p. 330.
-
(în) John Brillhart, Michael și Andrew Odlyzko Filaseta, " On an irreducibility theorem of A. Cohn " , CJM , vol. 33, nr . 5,nouăsprezece optzeci și unu, p. 1055-1059 ( citește online ).
-
(în) M. Ram Murty, „ Numere prime și polinoame ireductibile ” , Amer. Matematica. Lună. , vol. 109, nr . 5,2002, p. 452-458 ( citiți online [dvi]).
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">