Curba tautocronă

O curbă tautocronă este o curbă situată într-un plan vertical, unde timpul necesar unei particule care alunecă de-a lungul curbei sub influența uniformă a gravitației până la punctul său cel mai mic este independent de punctul său de plecare.

Problema tautocronă , încercarea de a identifica această curbă, a fost rezolvată de Huygens în 1659 în cazul în care acționează doar gravitația. El a demonstrat geometric în Horologium oscillatorium ( 1673 ) că curba era o cicloidă . Această soluție a fost utilizată ulterior pentru a aborda problema curbei brahistocronice .

Mai târziu, matematicieni precum Lagrange , d'Alembert și Euler au căutat o soluție analitică a problemei în cazul general.

Ecuația diferențială care descrie cicloida generată de un cerc de rază R este:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2R-y} {y}}}

Pentru exercițiul care ne interesează, folosim un cicloid inversat (cu capul în jos) a cărui ecuație diferențială ia forma:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} = {\ frac {y} {2R-y}}}

Așezăm o particulă pe curbă în poziția coordonată și lăsăm gravitația să acționeze (constanta gravitațională g ). Viteza în orice punct ( x , y ) al curbei este: $(x_ {0}, y_ {0})$

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}}

Timpul luat de particulă pentru a finaliza calea infinitesimală până la punctul curbei ( x + dx , y + dy ) este:

{\ displaystyle dt = {\ frac {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}} = {\ sqrt {\ frac {R } {gy (y_ {0} -y)}}} dy}

Timpul t că particula va lua pentru a ajunge la partea de jos a cicloida este:

{\ displaystyle t = \ int _ {0} ^ {y_ {0}} {{\ sqrt {\ frac {R} {gy (y_ {0} -y)}}} dy}}

Prin schimbarea variabilei atunci (sau direct ) găsim: ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {y_ {0} -y} {y_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ tau = \ sin ^ {2} u}$ ${\ displaystyle y = y_ {0} \ sin ^ {2} u}$

{\ displaystyle t = {\ sqrt {\ frac {R} {g}}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {d \ tau} {\ sqrt {\ tau (1- \ tau)} }} = \ pi {\ sqrt {\ frac {R} {g}}}}

Prin urmare, reiese că timpul călătoriei este independent de punctul de plecare pe cicloid.

O altă demonstrație (demonstrație lagrangiană)

definiția unui cicloida în coordonate (curbiliniu abscisă s , ordonata y )

este: dacă luăm în considerare un cicloid a cărui concavitate este îndreptată în sus și dacă originea lui este luată în punctul cel mai de jos. ${\ displaystyle s ^ {2} = 8Ry (t)}$ $s$

aurul, conform teoremei energiei cinetice . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} + 2gy (t) = {\ rm {cste}}}$

Eliminarea variabilei y între aceste două ecuații duce la:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {g} {4R}} s ^ {2} = {\ rm {cste}}}

, este

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {4R}} s = 0}

De aici rezultă o mișcare oscilatorie tautocronică sinusoidală a pulsației ( ), independentă de amplitudinea mișcării. ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {R}}}}$ ${\ displaystyle T = 4 \ pi {\ sqrt {\ frac {R} {g}}}}$

Această observație stabilește o legătură cu problema izocronă a puțului potențial. Este clar că o problemă tautocronă este izocronă. Pe de altă parte, există puțuri diferite care admit oscilații izocrone? răspunsul este nu: singurul puț simetric care are o oscilație izocronă este cicloida cu consecință o mișcare sinusoidală în abscisa curbiliniară (și nu mișcarea în abscisă, care, în proiecția pe axa Ox, nu este sinusoidală). Rețineți că, în cazul „puțurilor potențiale” (care nu este aceeași problemă), mișcarea izocronă este mișcarea lui Kepler în puțul potențial aparent Leibniz (1693)

{\ displaystyle V _ {\ text {workforce}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - GM {\ frac {m} {r}}.}

Toate aceste puțuri potențiale sunt legate între ele prin intermediul transformatei Abel .

Vezi și tu

Pendul ciclic