Cercurile lui Apollonius
Există mai mulți candidați care răspund la numele cercului lui Apollonius .
Cercul lui Apollonius cu două puncte
Apollonius de Perga propune definirea cercului ca setul de puncte M ale planului pentru care raportul distanțelor MA / MB rămâne constant, punctele A și B fiind date.
Teorema - Dacă A și B sunt două puncte distincte și k este un real diferit de 0 și 1, cercul Apollonius al tripletului ( A , B , k ) este setul de puncte M ale planului astfel încât
Demonstrație -
- Soluție pe ( AB ): dacă k = 1, MA = k MB are o soluție unică pe ( AB ): punctul de mijloc al [ AB ]. În caz contrar, problema Apollonius MA = k MB are două soluții pe ( AB ), să spunem C și conjugatul său armonic D față de A și B ; D există imediat ce C nu este punctul de mijloc al lui [ AB ].
- Soluție în afara ( AB ): Dacă MA / MB = k, atunci MA / MB = CA / CB; (MC) este apoi bisectoarea unghiului la M în triunghiul AMB. Dar avem și MA / MB = DA / DB și (MD) este a doua bisectoare a unghiului la M în AMB. În special triunghiul CMD este dreptunghi în M și M este așadar pe cercul de diametru [CD].
- Rezumat: Pentru orice M al planului exterior (AB) liniile (MA), (MB), (MC) și (MD) formează un snop armonic. Dacă în plus M se află pe cercul de diametru [CD], atunci știm că (MC) și (MD) sunt bisectoarele lui ∠AMB. Încheiem cu caracterizarea bisectoarei în raport cu raportul
- Cercul de diametru [CD] este cercul lui Apollonius pentru triplet ( A , B , k ).
Cercuri apoloniene pachet de un triunghi
Fie ABC un triunghi. Cercul c cu centrul O este circumscris triunghiului ABC.
Bisectoarele de la A se intersectează [BC] la I 1 și J 1 , cercul c 1 cu centrul O 1 are pentru diametrul [I 1 J 1 ].
Bisectoarele de la B se intersectează [AC] la I 2 și J 2 , cercul c 2 cu centrul O 2 are diametrul [I 2 J 2 ].
Bisectoarele din C se intersectează [AB] în I 3 și J 3 , cercul c 3 cu centrul O 3 are diametrul [I 3 J 3 ].
Raza cercurilor de Apollonius este format de cele trei cercuri c 1 , c 2 și c 3 din Apollonius care au în comun cele două puncte P și Q. Acestea sunt punctele de bază ale fasciculului.
Centrii lor O 1 , O 2 și O 3 sunt aliniați pe bisectoarea perpendiculară a [PQ].
Centrul O al cercului circumscris c și punctul Lemoine al triunghiului ABC sunt situate pe linie (PQ).
Q (X15) și P (X16) sunt conjugatele izogonale ale punctelor Fermat (X14 și X13)
Fractal
Vezi: Cercul lui Apollonius