Categorie monoidal împletită
În matematică , o categorie monoidal împletită este o categorie monoidal particulară, la care se adaugă un analog al noțiunii de comutativitate .
Definiție formală
Luați în considerare o categorie monoidală. Notăm opusul produsului tensorial pentru a , care este de a spune bifunctor definit de . Numim împletirea pe un izomorfism natural al viermilor . Cu alte cuvinte, pentru toate obiectele de , induce un izomorfism
(VS,⊗,α,λ,ρ){\ displaystyle ({\ mathcal {C}}, \ otimes, \ alpha, \ lambda, \ rho)}⊗op{\ displaystyle \ otimes ^ {op}}⊗{\ displaystyle \ otimes}LA⊗opB=B⊗LA{\ displaystyle A \ otimes ^ {op} B = B \ otimes A}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} β{\ displaystyle \ beta}-⊗-{\ displaystyle - \ otimes -}-⊗op-{\ displaystyle - \ otimes ^ {op} -}LA,B{\ displaystyle A, B}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}β{\ displaystyle \ beta}
βLA,B:LA⊗B⟶B⊗LA{\ displaystyle \ beta _ {A, B}: A \ otimes B \ longrightarrow B \ otimes A}
Reprezentarea grupurilor de împletituri
Se spune că o categorie monoidal împletită este simetrică dacă, în plus ,.
βB,LA-1=βLA,B{\ displaystyle \ beta _ {B, A} ^ {- 1} = \ beta _ {A, B}}
Dacă este un obiect al , chiar dacă înseamnă fixarea unei paranteze (deoarece produsul tensorial este doar asociativ cu excepția izomorfismului), are sens să luăm în considerare obiectul . Deoarece sunt toți egali cu , avem în special
V{\ displaystyle V}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}V⊗nu=V1⊗V2⊗⋯⊗Vnu{\ displaystyle V ^ {\ otimes n} = V_ {1} \ otimes V_ {2} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n}}Veu{\ displaystyle V_ {i}}V{\ displaystyle V}
V1⊗...Veu⊗Veu+1⊗⋯⊗Vnu=V1⊗...Veu+1⊗Veu⊗⋯⊗Vnu{\ displaystyle V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i} \ otimes V_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n} = V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i + 1} \ otimes V_ {i} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n}}
unde este vorba de această dată de o adevărată egalitate și nu de un izomorfism. Mai mult, induce un izomorfism
β{\ displaystyle \ beta}
βeu:V1⊗...Veu⊗Veu+1⊗⋯⊗Vnu→V1⊗...Veu+1⊗Veu⊗⋯⊗Vnu{\ displaystyle \ beta _ {i}: V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i} \ otimes V_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n} \ rightarrow V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i + 1} \ otimes V_ {i} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n}}
Astfel, hărțile pentru pot fi considerate ca elemente ale grupului de automorfisme ale . Deducem că există un morfism al grupurilor
βeu{\ displaystyle \ beta _ {i}}eu=1...nu-1{\ displaystyle i = 1 \ dots n-1}V⊗nu{\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}
Bnu⟶LAtut(V⊗nu){\ displaystyle B_ {n} \ longrightarrow \ mathrm {Aut} (V ^ {\ otimes n})}
cine trimite mai departe .
σeu{\ displaystyle \ sigma _ {i}}βeu{\ displaystyle \ beta _ {i}}
Articol asociat
Produs tensor al a două module
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">