Aplicație subliniară

Fie un spațiu vectorial pe ℝ . Spunem că o aplicație este subliniată atunci când: $V$ ${\ displaystyle s \, \ colon \, V \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$

pentru toți vectorii și ai , (spunem că este subadditiv ), $X$ $y$ $V$ ${\ displaystyle s (x + y) \ leq s (x) + s (y)}$ $s$
pentru orice vector și orice , (spunem că este pozitiv omogen ). $X$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle s (\ lambda x) = \ lambda \, s (x)}$ $s$

Hărțile subliniare sunt convexe .

Ca exemple de aplicații subliniare, să cităm semi-normele sau, mai general, orice gabarit al unui convex care conține originea.

Note și referințe

Cf. (en) Eric Schechter (en) , Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press ,1997( citiți online ) , p. 313-314. În cazul particular , găsim o definiție echivalentă în (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty și Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Springer , col. „Ediții text Grundlehren”, ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ 2004( 1 st ed. 2001) ( ISBN 978-3-540-42205-1 ) , p. 124și în (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty și Claude Lemaréchal, Algoritmi de analiză și minimizare convexă I: Fundamentals , Springer, col. „Ediții text Grundlehren”,1993( ISBN 3-540-56850-6 ) , p. 198.
Pentru (cu convenție ), această condiție implică . $\ lambda = 0$ ${\ displaystyle 0 \ times \ infty = 0}$ ${\ displaystyle s (0) = 0}$
Sau „pozitiv omogen de gradul 1”.