În matematică , în special în sistemul dinamic , un Poincaré , numit în onoarea lui Henri Poincaré , este o aplicație legată de o orbită periodică (în) în spațiul de stare al unui sistem dinamic și un sub-spațiu de dimensiuni mai mici, numit secțiunea Poincaré , transversal la fluxul sistemului. Mai exact, considerăm o orbită suficient de apropiată de o orbită periodică, cu o condiție inițială în secțiunea Poincaré și observăm punctul în care această orbită revine la secțiune pentru prima dată, de unde și celelalte nume ale acesteia, prima aplicație returnează sau cerere de recurență . Transversalitatea secțiunii Poincaré se referă la faptul că orbita periodică începe prin fluxul subspațiului și nu paralel cu acesta. O orbită este periodică dacă și numai dacă starea sa inițială este un punct fix al hărții Poincaré.
Teoremele Existența unor soluții periodice ale diferențiale neliniare ecuații ( autonome și neautonome) apar din utilizarea grad topologice teorie , în special punctul fix teorema lui Brouwer , pentru aplicația Poincaré. În plus, aproximările numerice ale acestor soluții periodice și ale perioadei lor - în cazul sistemelor autonome - se obțin prin rezoluția numerică a punctelor fixe ale hărții Poincaré, prin intermediarul hărților Poincaré aproximate metodelor de discretizare a ajutorului pentru Cauchy probleme .
O hartă Poincaré poate fi privită ca un sistem dinamic discret , cu un spațiu de stare de dimensiune egal cu cel al sistemului dinamic continuu original, minus unul. Deoarece acest nou sistem dinamic păstrează multe proprietăți ale orbitelor periodice și cvasi-periodice ale sistemului original și întrucât noul sistem are un spațiu de stare dimensional mai redus, este adesea util pentru analiza sistemului original. Pe de altă parte, acest lucru nu este întotdeauna posibil în practică, deoarece nu există o metodă generală pentru construirea aplicației Poincaré.
O aplicație Poincaré diferă de un grafic de recurență prin faptul că spațiul și nu timpul determină când este procesat un punct. De exemplu, locusul Lunii atunci când Pământul se află în apsis este un grafic de recurență, în timp ce locusul Lunii, pe măsură ce trece prin planul perpendicular pe orbita Pământului și trece de la Soare la Periheliu, este o aplicație de către Poincaré . Aplicarea lui Poincaré a fost folosită de Michel Hénon pentru studiul mișcării stelelor într-o galaxie : calea parcursă de o stea, atunci când este proiectată pe un plan, are aspectul unei tulburări nesubstanțiale, în timp ce aplicația lui Poincaré arată structura mai mult clar.