Inelul Boole

Un inel boolean este un inel unitar ( E , +, •, 0, 1) în care fiecare element a satisface relația a • a = a .

Rezultă imediat din definiție că un inel boolean este comutativ și că fiecare element este propriul său opus (calculând pătratul lui x + 1, apoi cel al lui x + y ).

Într-un sens care poate fi precis, inelele booleene sunt algebre booleene prezentate altfel. Trecem de la inelul boolean ( E , +, •, 0, 1) la algebra booleană ( E , ∨, ∧, ', 0, 1) prin setarea

• a∧b = a b
• a '= 1 - a
• a V b = a + b + a b

și invers, cu prima egalitate și prin stabilire

• a + b = (a V b) ∧ (a 'V b') = a∧b 'V a'∧b.

În special, adăugarea inelelor Boole este exclusivă sau (sau XOR).

Pentru același polinom, operațiile primitive ale algebrei booleene duc la cele două forme normale conjunctive și disjunctive , cele ale inelului boolean la forma algebrică normală .

• La nivel practic, calculul boolean este utilizat pentru proiectarea circuitelor logice bazate pe ET / AND, OR / OR, NON / NOT, NI / NAND sau NOR, calcule în care utilizarea EXCLUSIVE OR / XOR este dificilă , în timp ce inelul boolean prezintă ET / AND și EXCLUSIVE OR / XOR și exprimă clar cheile de paritate. Aceste două sisteme echivalente tind astfel să abordeze tehnologii diferite.

• Matematic, inelul boolean permite tranziția între calculul boolean tradițional, Galois CG (2) și aplicații la codurile de detectare / corectare a erorilor.

Referințe

1. Roman Sikorski, algebre booleene , Springer-Verlag ,1969, p. 52-54.
2. Jean Kuntzmann, Algebra lui Boole , Dunod ,1968,?.