Afinitate (matematică)
În matematică , în special în geometrie , o afinitate este o hartă afină sau liniară egală cu identitatea într-o direcție și cu o homotezie în alta.
Afinitate vectorială
Afinitățile vectoriale sunt endomorfisme care sunt suma directă a identității și a omotezei. Mai precis :
Fie un spațiu vectorial și două subspații suplimentare și ( );
E{\ displaystyle E \,}
F{\ displaystyle F \,}
G{\ displaystyle G \,}
E=F⊕G{\ displaystyle E = F \ oplus G}![E = F \ oplus G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b660e79a3c951f04a40b2f6d95e808fe679b794d)
afinitatea de bază (sau pe ), a direcției și a relației este singura endomorphism care se limitează la în identitatea și în homothety relației :
F{\ displaystyle F \,}
F{\ displaystyle F \,}
G{\ displaystyle G \,}
λ{\ displaystyle \ lambda \,}
f{\ displaystyle f \,}
F{\ displaystyle F \,}
G{\ displaystyle G \,}
λ{\ displaystyle \ lambda \,}![\ lambda \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988b7b8a22b11081bc97378c30391f573535c21c)
Dacă da .
X=XF+XG{\ displaystyle x = x_ {F} + x_ {G} \,}
f(X)=XF+λXG{\ displaystyle f (x) = x_ {F} + \ lambda x_ {G} \,}![f (x) = x_ {F} + \ lambda x_ {G} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dcf4e6d6fa6cba267c0b4886bcee3f325ec12ac)
Caracterizare dimensională finită: endomorfism diagonalizabil având cel mult două valori proprii, dintre care una este unitatea.
Afinitățile acoperă:
- identitate ( )λ=1{\ displaystyle \ lambda = 1 \,}
![\ lambda = 1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcff99418fb3d2bbd39a97df8cfd02adb83d1d7)
- proiecții sau proiectoare ( )λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0 \,}
![\ lambda = 0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c32a9045621d08c4704ffab9f69a86587276c1)
- simetria sau involuția liniar ( ) (reducerea la identitatea , dacă caracteristica corpului este 2)λ=-1{\ displaystyle \ lambda = -1 \,}
![\ lambda = -1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc108d6b7e5fb6dcaf55f7e0c4d4698c4425e23)
- la dilatările ( )G=E{\ displaystyle G = E \,}
![G = E \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2483db06f334a3ab03e6a6d60f9e1694049365c)
- expansiune , afinitatea sau hiperplan ( ).SoareG=1{\ displaystyle \ dim G = 1 \,}
![\ dim G = 1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b27402a1b8fd571abc14cb00faa0bf63b9959c)
Afinitate punctuală
Deoarece un subspațiu afin al unui spațiu afin asociat și o direcție suplimentară , afinitatea de bază (sau pe ) de management și raportare este aplicația definită de construcție:
F{\ displaystyle F \,}
E{\ displaystyle E \,}
E→{\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}
G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {G}}}
F{\ displaystyle F \,}
F{\ displaystyle F \,}
G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {G}} \,}
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
- pentru orice punct din urmărim subspaiul unic care trece și direcția ;M{\ displaystyle M \,}
E{\ displaystyle E \,}
GM{\ displaystyle G_ {M} \,}
M{\ displaystyle M \,}
G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {G}}}![\ overrightarrow G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff2b6df12feffee91516c7ea98b4c61683b978a)
-
GM{\ displaystyle G_ {M} \,}
tăiere cu un singur punct ;F{\ displaystyle F \,}
H{\ displaystyle H \,}![H \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33810a0db43048d22f06d52f257b8e49e4e977a2)
- imaginea par este atunci punctul astfel încât .M{\ displaystyle M \,}
f{\ displaystyle f \,}
M′{\ displaystyle M '\,}
HM′→=λHM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {HM '}} = \ lambda {\ overrightarrow {HM}}}![\ overrightarrow {HM '} = \ lambda \ overrightarrow {HM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e463ef05ff1b9ed73d35a91658bf9abba3cb44d6)
Afină afinitate vector porțiunii liniare afinități punctiforme cu condiția ca acestea să aibă cel puțin un punct fix. În cazul general, se obțin afinități alunecate , compuse dintr-o afinitate punctuală și o traducere vectorială paralelă cu baza afinității punctuale.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">