Ecuație normală

O ecuație normală este un concept matematic care poate fi găsit în geometria euclidiană (pentru o linie sau un plan) și în statistici.

În geometrie

Dreapta avionului

Într-un plan african euclidian , se spune că ecuația unei linii afine este normală dacă . Coeficienții și sunt apoi cosinusii direcți ai normalului (N) către linia care trece prin origine, adică se poate scrie unde α este unghiul dintre axă și normal și care poate fi scris unde β este unghiul dintre axă și normal. $ax + cu + c = 0$ $a ^ {2} + b ^ {2} = 1$ $la$ $b$ $la$ $\ cos \ alpha$ $X$ $b$ $\ cos \ beta$ $y$

În două dimensiuni (plan afin), β = π / 2 - α prin urmare și , prin urmare, în mod eficient , dar când se urcă în dimensiunile superioare, nu mai există relații banale între cosinusii direcționari, cu excepția faptului că suma pătratelor lor trebuie să fie egal cu 1. $\ cos \ beta = \ sin \ alpha$ $\ sin \ beta = \ cos \ alpha$ $\ cos ^ {2} \ alpha + \ cos ^ {2} \ beta = 1$

O linie a planului admite exact două ecuații normale, care corespund celor două opțiuni posibile ale normalizate vectorului normale .

Avantajul ecuației normale este că, dacă M este un punct de coordonate , distanța de la punctul M la linie este egală cu . $(X y)$ $| {ax + by + c} |$

Planul spațial

Într-un spațiu euclidian afin de dimensiunea 3, se spune că o ecuație cu plan afin este normală dacă . $ax + cu + cz + d = 0$ $a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1$
Un plan al spațiului admite exact două ecuații normale care corespund celor două alegeri posibile ale vectorului normal normal.
Avantajul ecuației normale este că, dacă M este un punct de coordonate , distanța de la punctul M la plan este egală cu . $(X Y Z)$ $| {ax + by + cz + d} |$
Putem generaliza la un hiperplan .

În statistici

În statistici , ecuațiile normale sunt ecuații matriciale de formă:

t AA x = t A b

A este o matrice de numere reale de dimensiuni n × p ;
t A este matricea transpusă a lui A;
x este un vector real necunoscut cu dimensiunea p ;
b este un vector cunoscut de dimensiune n .

Acestea sunt utilizate pentru a efectua o regresie liniară prin metoda celor mai mici pătrate . În general, acționează ca pseudo-soluție a sistemului liniar

A x = b

că nu putem rezolva într-un mod clasic atunci când avem ecuații mai independente decât necunoscute ( n > p , sistem nedeterminat).

Referinţă

„ Programe școlare în vigoare în Franța ” ( Arhivă • Wikiwix • Archive.is • Google • Ce să faci? )