Un număr rațional este, în matematică , un număr care poate fi exprimat ca coeficientul a două numere întregi relative . Putem scrie numere raționale care nu sunt întregi ca o fracție , adesea notată , unde a , numărătorul , este un număr întreg relativ și b , numitorul este un număr relativ diferit de zero.
Un număr întreg este un număr rațional: poate fi exprimat ca o fracțiune a formei .
Fiecare număr rațional poate fi scris într-un număr infinit de moduri diferite ca o fracție, cum ar fi 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... dar există o formă privilegiată de scriere: orice număr rațional diferit de zero este exprimată în mod unic ca o fracțiune al cărei numărător și numitor sunt primi între ei cu un numitor pozitiv . Numim această expresie o fracțiune ireductibilă .
Extinderea zecimală a unui număr rațional este întotdeauna periodică după un anumit punct zecimal (de exemplu , în cazul unei scriere zecimal finit, adăugarea de zerouri asigură periodicitatea). Acest lucru este adevărat în orice bază . În schimb, dacă un număr are expansiune zecimală periodică în cel puțin o bază, atunci este un număr rațional.
Se spune că un număr real care nu este rațional este irațional . Setul de numere raționale este un câmp comutativă , notat Q sau ℚ (așa botezat de către Peano în 1895 , după inițiala cuvântului italian quoziente , coeficientul). Prin definitie:
unde ℤ este inelul numerelor întregi relative.
Ca toate realele , raționalele admit o reprezentare în expansiune zecimală nelimitată . Dezvoltarea zecimală a numerelor raționale are particularitatea de a fi periodică . Adică, există un sufix format dintr-o secvență finită de cifre care se repetă continuu . Această secvență se numește: „perioadă de expansiune zecimală nelimitată”.
Extinderea zecimală nelimitată a unui număr real și, a fortiori, a unui număr rațional, este unică dacă ne abținem de la terminarea cu o succesiune periodică formată din „9”. Într-adevăr, în acest din urmă caz, va exista o scriere echivalentă care se termină cu o perioadă compusă din „0” și, mai bine, o expansiune zecimală echivalentă limitată.
În mod convențional, atunci când scriem un număr cu cifre arabe în sistemul zecimal desenăm, dacă este necesar, o bară orizontală sub secvența periodică. De asemenea, este posibil să puneți un punct deasupra fiecărei cifre a perioadei, dar această notație este folosită mult mai puțin.
Atunci când este indicată o perioadă, trebuie să ne referim la un număr rațional și din acest motiv, într-un mod riguros:
Dar de asemenea :
Extinderea zecimală nelimitată a unui număr rațional este periodică și, dimpotrivă, un număr cu expansiune zecimală periodică este întotdeauna rațional. Acest criteriu este totuși incomod pentru a evalua raționalitatea unui număr. Un al doilea criteriu este dat de fracția continuată . Un număr este rațional dacă și numai dacă expansiunea sa într-o fracție continuă este finită. Această metodă se află la originea primelor demonstrații ale iraționalității bazei e a logaritmului natural și a π .
Astfel, numărul (în care avem secvențe de „2” din ce în ce mai lungi) este irațional, deoarece nu există perioadă.
Fie a, b, c, d patru numere întregi, cu b și d nu zero.
Cele două numere raționale reprezentate de a / b și c / d sunt egale dacă și numai dacă ad = bc .
Adăugarea este dată de:
Arătăm că această egalitate nu depinde de alegerea reprezentanților „a / b” și „c / d”.
Multiplicarea prin:
Deducem că coeficientul este dat de:
Orice număr rațional pozitiv poate fi exprimat ca suma inversului numerelor naturale distincte. De exemplu, avem:
Putem vedea un număr rațional ca clasa de echivalență a unei perechi întregi ordonate, prin următoarea relație de echivalență:
Apoi a remarcat , adică, setul de numere raționale este coeficientul de relația de echivalență.
Putem apoi să injectăm numerele întregi în rațional și să definim legile compoziției interne pentru a ne oferi o structură corporală.
Această construcție este valabilă din orice inel integral , atunci vorbim despre câmpul fracțiilor .
Echipat cu topologia ordinii obișnuite, ℚ este un câmp topologic . Aceasta înseamnă că operațiile aritmetice sunt continue. Adăugarea este în plus compatibilă cu comanda (se vorbește despre grupul ordonat ).
Pe de altă parte, ℚ nu are proprietatea limitei superioare : mulțimea numerelor raționale x astfel încât x 2 <2 este mărită, dar nu are o limită superioară mai mică.
Pe de altă parte, ℚ nu este un spațiu complet : există secvențe Cauchy de numere raționale care nu converg către un număr rațional, ca secvența ( x n ) definită prin inducție conform metodei Heron :
Aceste două limitări arată în special că numerele esențiale din matematică, cum ar fi √ 2 sau π , nu sunt raționale. Acest lucru duce la completarea ℚ prin construirea unui set mai mare, care are proprietatea limitei superioare și în care converge orice secvență Cauchy: mulțimea numerelor reale .
Putem furniza ℚ o altă valoare.
Fie un număr prim . Noi intrebam:
Funcția astfel definită este complet multiplicativă , ceea ce face posibilă pozitivarea fără ambiguitate pentru orice număr rațional :
Deci, definiți un spațiu metric.
Spațiul metric nu este complet, iar completarea acestuia este câmpul ℚ p al numerelor p -adice . Teorema lui Ostrowski arată că orice nontrivial ℚ valoare absolută este topologic echivalentă fie cu valoarea absolută obișnuită sau o valoare absolută p -adic.