În analiza numerică , metoda diferenței finite este o tehnică comună pentru găsirea soluțiilor aproximative ale ecuațiilor diferențiale parțiale care constă în rezolvarea unui sistem de relații (diagramă digitală) care leagă valorile funcțiilor necunoscute în anumite puncte suficient de apropiate unele de altele. .
Această metodă pare a fi cea mai simplă de implementat, deoarece se desfășoară în două etape: pe de o parte, discretizarea prin diferențe finite a operatorilor de derivare / diferențiere, pe de altă parte, convergența diagramei numerice astfel obținută atunci când distanța dintre punctele scad.
O discretizare a operatorilor diferențiali (primele derivate, secunde etc., parțiale sau nu) poate fi obținută prin formulele lui Taylor .
Formularea Taylor-Young este preferabilă în utilizarea sa simplă, formularea Taylor cu restul integral Laplace face posibilă măsurarea erorilor (cf. mai jos).
Într-un punct x și pentru o valoare h a etapei de discretizare, astfel încât u este diferențiat de trei ori pe intervalul [ x - h , x + h ] , formula Taylor-Young conduce la două relații:
unde cele două funcții ε i ( x , h ) converg la 0 cu h . Prin urmare
corespund două aproximări ale u ( x ) din 1 st ordine h .
Prin scăderea evoluțiilor precedente, ceea ce înseamnă a lua media celor două diferențe finite anterioare și posterioare față de u ( x ) , obținem
care este o aproximare a lui u ( x ) de 2 e ordinea h .
Aproximări decentrate Offset în amonteÎntr-un punct x și pentru o valoare h a etapei de discretizare, astfel încât u este diferențiat de trei ori pe intervalul [ x , x + 2 h ] , formula Taylor-Young conduce la relația:
unde funcția converge la 0 cu h . Prin urmare
corespunde o aproximare a u ( x ) din 1 st ordine h .
Repetând operația pentru un centru descendent din aval, scriind că:
de unde
care este o aproximare u '' ( x ) de 2 e ordinea h .
Formule extinse la ordine succesivePrin extinderea dimensiunii șablonului , este posibil să se determine diferențe finite de ordine superioare prin metode similare (creșterea ordinii în formula lui Taylor și determinarea unei combinații liniare adecvate pentru a anula termeni superflui).
De exemplu, la un punct x și pentru o valoare h a etapei de discretizare, astfel încât u să fie diferențiat de patru ori pe intervalul [ x - 2 h , x + 2 h ] , prin extensia formulei Taylor, putem arăta decât cinci diagrame punctuale
sunt aproximări ale primei și celei de-a doua derivate de ordinul 4.
Extensie la funcții multivariate Offset în amonteÎntr-un punct ( x , y ) și pentru o valoare h a etapei de discretizare (aceeași în cele două dimensiuni), astfel încât u ( x , y ) este de 4 ori diferențiat pe dreptunghiul [0, x + 2 h ] × [ 0, y + 2 h ] , putem scrie
care este o aproximare a lui Laplacian Δ u ( x , y ) de ordinul 2 e h (cf. ecuația lui Laplace și a ecuației lui Poisson ).
Șablon centratLa un punct ( x , y ) și pentru o valoare h a etapei de discretizare (aceeași în cele două dimensiuni), astfel încât u ( x , y ) să fie diferențiat de 4 ori pe dreptunghi [ x - h , x + h ] × [ y - h , y + h ] , putem scrie
care este o aproximare a lui Laplacian Δ u ( x , y ) de ordinul 2 e h (cf. ecuația lui Laplace și a ecuației lui Poisson ).
Noțiunea de „ordine” menționată mai sus corespunde unui concept de convergență locală a operatorului discretizat. Convergența globală a soluției discrete este un concept foarte diferit, chiar dacă există o relație de familie între cele două.
Pentru metoda diferenței finite, o rețea este un set de puncte izolate (numite noduri ) situate în domeniul definiției funcțiilor supuse ecuațiilor diferențiale parțiale, o grilă pe singurele noduri dintre care sunt definite necunoscutele corespunzătoare aproximativului valorile acestor funcții.
Plasa include, de asemenea, noduri situate la marginea câmpului (sau cel puțin „aproape” de această margine) pentru a putea impune condițiile limită și / sau condiția inițială cu suficientă precizie.
A priori, prima calitate a unei rețele este de a acoperi cât mai bine câmpul în care se dezvoltă, de a limita distanța dintre fiecare nod și cel mai apropiat vecin al acestuia. Cu toate acestea, rețeaua trebuie să permită și exprimarea formulării discrete a operatorilor de diferențiere: din acest motiv, nodurile rețelei sunt situate cel mai adesea pe o rețea ale cărei direcții principale sunt axele variabilelor.
Se numește pasul rețelei distanța dintre două noduri vecine situate pe o linie paralelă cu una dintre axe. În acest sens, pasul este atât o noțiune locală, cât și o noțiune direcțională. Vom vorbi despre pitch global pentru a desemna cel mai mare pitch local , o noțiune care rămâne direcțională.
Deși un pas constant este păstrat cel mai adesea (fără a pune o problemă teoretică pentru rezoluție), este uneori judicios să introducem un pas variabil care va fi ales mai fin în zonele în care soluția exactă suferă variații mai puternice: acest truc face posibil pentru a reduce numărul de necunoscute fără a compromite acuratețea rezultatelor. Pe de altă parte, formularea este puțin mai complexă, deoarece discretizarea operatorilor diferențiali trebuie să o ia în considerare.
Pentru o ecuație diferențială referitoare la o funcție a unei variabile al cărei domeniu (în ) este intervalul [0; 1] , o grilă constantă pas este caracterizat prin M + 1 noduri x i = ih , 0 ≤ i ≤ M cu pasul h = 1 / M . Această plasă include cele două puncte de margine x 0 și x M pe care sunt impuse posibile condiții de graniță.
Luați în considerare o ecuație diferențială parțială referitoare la o funcție a două variabile (domeniu ):
O schemă numerică poate fi definită ca formularea algebrică a unei probleme discrete proiectată utilizând metoda diferenței finite. Procesul include următorii pași:
Odată stabilită diagrama digitală și formulată problema discretă, nu este vorba doar de rezolvarea ei, ci și de asigurarea faptului că soluția discretă converge către soluția exactă atunci când pașii mesh-ului tind spre 0.
Pentru anumite așa-numite diagrame explicite , este posibil să se ordoneze necunoscutele în așa fel încât fiecare dintre ele să poată fi determinată recursiv din cele precedente care se presupune că sunt deja calculate ( matrice triunghiulară ). Pentru schemele implicite , uneori este posibil să se evite rezolvarea întregului sistem al tuturor ecuațiilor. Acesta este în special cazul unui sistem în evoluție a cărui stare, caracterizată prin variabile spațiale, este definită de condițiile inițiale (t = 0), apoi evoluează progresiv în timp: diagrama numerică rămâne explicită în variabila temporală și caracterul său implicit se referă doar la variabilele spațiale.
În toate cazurile, fiecare ecuație a diagramei numerice se referă doar la un număr mic de necunoscute. Într-un mediu liniar, această proprietate duce la formularea problemei discrete folosind matrici rare și să profite de aceasta pentru a o rezolva folosind metode adecvate . Acest avantaj este incontestabil atunci când dimensiunea plasei depășește cadrul unui studiu didactic.
Rezoluția diagramelor numerice se bazează, în general, pe metode algebrice clasice. Cu toate acestea, alte formulări echivalente pot necesita metode de optimizare .
Luați în considerare următoarea problemă:
Această problemă rămâne academică în măsura în care se cunoaște soluția exactă:
Cu schema Euler explicită de ordinul 1 aplicată la o rețea obișnuită de pas h = 1 / M , necunoscutele u n care reflectă u ( nh ) sunt legate de relațiile
Această diagramă conduce la relația de recurență
a cărei soluție explicită este
O altă formulare obținută utilizând diagrama de ordinul 2 (cu excepția nodului n = 1 pentru care se păstrează diagrama de ordinul 1) oferă
La fel ca prima, această a doua diagramă este explicită .
Este foarte ușor să determinați numeric soluțiile acestor două diagrame pentru a le compara cu soluția exactă. Pare legitim să ne așteptăm la rezultate mai bune cu a doua diagramă, deoarece ordinea acesteia este mai mare decât cea a primei (este posibil să se arate că cele două diagrame digitale sunt uniform convergente):
Această comparație arată clar că o bună reprezentare a operatorilor diferențiali nu este o condiție suficientă pentru a obține o diagramă numerică bună.
Convergenta unei diagrame digitale este o proprietate teoretică totală a asigura că diferența (în sensul unui etalon ) între soluția aproximativă și soluția exactă tinde spre 0 când pasul discretizare tinde spre 0 (sau când fiecare din etapele globale asociate cu direcțiile diferite tinde spre 0).
Soluția aproximativă a unei diagrame digitale rămâne nu foarte credibilă atâta timp cât convergența sa nu a fost arătată. Această dovadă este, fără îndoială, cel mai delicat punct al metodei diferențelor fine, în orice caz cel care necesită utilizarea instrumentelor analitice .
Nu este suficient să verificați cu ajutorul unor exemple numerice concrete dacă comportamentul soluției discrete se conformează așteptărilor pentru a asigura convergența. Pe de altă parte, astfel de exemple pot ajuta la demonstrarea contrariului.
Conceptual, diferențele dintre soluția aproximativă și soluția exactă se manifestă printr-o combinație de două fenomene:
Aceste concepte nu iau în considerare erorile de rotunjire care pot complica și mai mult lucrurile, așa cum se arată în figura de mai jos, obținută cu un exemplu concret :
Standardul pentru care se studiază convergența trebuie să rămână independent de pașii de discretizare. Cu toate acestea, este comun să se utilizeze standarde legate de cele ale spațiilor L p . Pentru o funcție a unei variabile:
În contextul unei probleme evolutive cu condiție inițială , teorema lui Lax specifică riguros noțiunile de consistență și stabilitate , a doua fiind o condiție necesară și suficientă pentru a asigura convergența .
În ultimul exemplu prezentat mai sus pentru care se știe în același timp soluția exactă și soluția aproximativă (diagrama lui Euler) , raportul satisface
care tinde spre 0 când tinde spre 0, acest lucru uniform pentru
Astfel, tinde uniform către 0, ceea ce dovedește convergența acestei scheme Euler în normă