Echivalent

În analiza matematică , echivalența conectează două funcții sau două secvențe care au același comportament în vecinătatea unui punct sau a infinitului.

Această noțiune intervine în calculul expansiunilor asimptotice , dintre care expansiunile limitate sunt cazuri speciale. Operațiuni Echivalentul este un instrument de calcul.

Echivalență pentru apartamente

Definiții

Fie și să fie două secvențe cu valori reale sau complexe . tunu{\ displaystyle u_ {n}}vnu{\ displaystyle v_ {n}}

Noi spunem că este echivalent cu a , și observăm , în cazul în care secvența este neglijabilă în fața secvenței . tunu{\ displaystyle u_ {n}}vnu{\ displaystyle v_ {n}}tunu∼vnu{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}tunu-vnu{\ displaystyle u_ {n} -v_ {n}}vnu{\ displaystyle v_ {n}}

Folosind notația mică „o”, se scrie :, și rezultă existența unei secvențe care tinde la zero și verifică dintr-un anumit rang. tunu=vnu+o(vnu){\ displaystyle u_ {n} = v_ {n} + o (v_ {n})}εnu{\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}tunu=(1+εnu)vnu{\ displaystyle u_ {n} = (1+ \ varepsilon _ {n}) v_ {n}}

Exemple

• Un echivalent al sumei de ordine parțială a seriei armonice esteHnu{\ displaystyle H_ {n}}nu{\ displaystyle n}ln⁡(nu).{\ displaystyle \ ln (n).}
• Un echivalent celebru este dat de formula lui Stirling  :nu!∼2πnu(nue)nu.{\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({n \ over e} \ right) ^ {n}.}
• Fie π secvența al cărei al treilea termen este egal cu numărul de numere prime mai mic sau egal cu n . Număr prim Teorema afirmă căπ(nu)∼nuln⁡nu.{\ displaystyle \ pi (n) \ sim {\ frac {n} {\ ln n}}.}

Proprietăți

• În cazul particular în care secvența nu dispare dintr-un anumit rang, avem:vnu{\ displaystyle v_ {n}}

tunu∼vnu⇔limnu→+∞tunuvnu=1.{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n} \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {v_ {n}}} = 1.}

• În special dacă este o constantă diferită de zero:ℓ{\ displaystyle \ ell}

tunu{\ displaystyle u_ {n}} converge la dacă și numai dacă este echivalent cu secvența constantă egală cu .ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}

• Relația „a fi echivalent cu” este o relație de echivalență pe setul de secvențe cu valori reale (respectiv complexe) care sunt diferite de zero dintr-un anumit rang.

Echivalența funcțiilor

Definiție

Să f și g să fie două funcții, definite pe partea A a ℝ și cu valori în K = ℝ sau ℂ, și lăsați o să fie un punct aderent la A ( o poate fi o adevărată sau + ∞ sau -∞ ) .

Spunem că f este echivalent cu g în a și observăm (sau pur și simplu atunci când nu există nicio ambiguitate pe punctul a pe care îl considerăm) dacă există o funcție definită pe vecinătatea V a are astfel încât: f∼lag{\ displaystyle f \ sim _ {a} g}f∼g{\ displaystyle f \ sim g}ε{\ displaystyle \ varepsilon}

• limlaε=0{\ displaystyle \ lim _ {a} \ varepsilon = 0}
• ∀X∈(V∩LA)∖{la}, f(X)=(1+ε(X))g(X).{\ displaystyle \ forall x \ in (V \ cap A) \ setminus \ {a \}, ~ f (x) = (1+ \ varepsilon (x)) g (x).}

Exemplu

Un echivalent ± ∞ al unei funcții polinomiale este monomiul său de cel mai înalt grad.

Proprietăți

• În cazul particular în care g este diferit de zero în vecinătatea lui a , avem:
  f∼lag⇔limX→laf(X)g(X)=1.{\ displaystyle f \ sim _ {a} g \ Leftrightarrow \ lim _ {x \ to a} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}
• În special, dacă este un element diferit de zero al lui K :ℓ{\ displaystyle \ ell}
  f∼laℓ⇔limlaf=ℓ.{\ displaystyle f \ sim _ {a} \ ell \ Leftrightarrow \ lim _ {a} f = \ ell.}
• Relația este o relație de echivalență .∼la{\ displaystyle \ sim _ {a}}
• Dacă f și g sunt valori reale și dacă sunt echivalente în a , atunci
  • au chiar un semn „local în jurul unui ”, adică într-un anumit cartier al unui ,
  • dacă cu atunci .limlag=l{\ displaystyle \ lim _ {a} g = l}l∈R∪{±∞}{\ displaystyle l \ in \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}}limlaf=l{\ displaystyle \ lim _ {a} f = l}
• În general (vezi articolul Operațiuni echivalente ), operațiile de multiplicare cu o altă funcție sau un scalar, de inversare, de diviziune sunt compatibile cu relația „a fi echivalent cu”. Cu toate acestea, adăugarea și compoziția sunt problematice.

Observații

• Putem generaliza această definiție luând în considerare funcțiile:
  • definit pe o parte A a unui spațiu topologic altul decât ℝ;
  • cu valori într-un spațiu vector normalizat pe K sau chiar într-un spațiu vector topologic pe un câmp valorat K, altul decât ℝ sau ℂ.
• Noțiunea de echivalență a secvențelor este un caz special al celui de echivalență a funcțiilor.

Vezi și tu

Comparație asimptotică

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">