În topologie algebrică , teorema van Kampen , de asemenea , numit Seifert -van Kampen teorema , este un rezultat care să permită să se calculeze gruparea fundamentală a unui spațiu topologic care se descompune în două spații mai simple ale căror grupuri respective fundamentale sunt deja cunoscute.
Fie U 1 , U 2 să fie deschise conectate prin arcuri, precum și prin intersecția lor, atunci grupa fundamentală a lui U 1 ∪ U 2 este egală cu suma amalgamată a celor ale lui U 1 și respectiv U 2 peste cea a intersecției lor:
și același lucru pentru grupurile fundamentale la un punct x comun acestor două deschideri conexe:
Un caz particular esențial este acela în care U 1 ∩ U 2 este pur și simplu conectat : π 1 ( U 1 ∪ U 2 , x ) este atunci produsul gratuit π 1 ( U 1 , x) ∗ π 2 ( U 2 , x) al grupurile fundamentale ale lui U 1 și U 2 .
De exemplu, un tor străpuns cu o gaură este homeomorf la uniunea a doi cilindri de intersecție conectată pur și simplu. Teorema lui Van Kampen arată că grupul său fundamental este ℤ ∗ ℤ, adică grupul liber pe doi generatori. În mod similar, grupul fundamental al planului proiectiv este grupul cu două elemente.
Teorema enunțată mai sus rămâne valabilă dacă U 1 , U 2 și U 1 ∩ U 2 sunt sub spații închise conectate prin arcuri.
Fie V 1 , V 2 sub- spații închise conectate prin arcuri care admit învelișuri conectate simplu, precum și intersecția lor, și să fie x un punct comun acestor două închise. Atunci grupul fundamental al lui V 1 ∪ V 2 la x este egal cu suma amalgamată a grupelor fundamentale ale lui V 1 și V 2 la x peste cea a intersecției lor: