În matematică , suma a două numere este rezultatul adunării lor . Elementele adăugate se numesc termenii sumei. Se calculează în moduri diferite în funcție de sistemul de numerotare utilizat . Datorită comutativității și asociativității adunării, suma unui set finit de numere este bine definită indiferent de ordinea în care se face adunarea, dar nu există întotdeauna o formulă redusă pentru a o exprima. Metodele utilizate pentru a obține astfel de formule sunt legate de studiul seriilor numerice .
Sumele seriilor de numere pot fi notate folosind simbolul sumă , a cărui ortografie evocă litera greacă sigma capitală .
Limita unei serii se mai numește și sumă, deși nu poate fi obținută direct printr-o adunare finită.
Notarea matematică folosește un simbol care reprezintă suma unei succesiuni de termeni: simbolul însumării , Σ, o formă extinsă a literei majuscule sigma. Aceasta este definită după cum urmează:
unde i reprezintă indicele de însumare ; a i este o variabilă indexată care reprezintă fiecare număr succesiv din serie; m este limita sumă inferioară și n este limita sumă superioară . „ I = m ” sub simbolul însumării înseamnă că indexul i începe cu valoarea m . Indicele, i , este incrementat cu 1 la fiecare iterație și se oprește când i = n .
Iată un exemplu care arată o sumă de pătrate
Notarea informală omite uneori definiția indexului și limitele sale de însumare atunci când acestea sunt clare din context, ca în:
Adesea vedem generalizări ale acestei notații în care este furnizată o condiție logică arbitrară, iar suma este destinată să susțină toate valorile care îndeplinesc această condiție. De exemplu :
este suma peste toate (întregi) într-o ordine specifică,
este suma peste tot setul (dacă este setul gol , suma este zero: a se vedea „ Suma goală ”) și
este suma tuturor diviziunilor întregi pozitive .
Există, de asemenea, modalități de generalizare a utilizării mai multor semne sigma. De exemplu,
mijloace
O notație similară se aplică pentru produsul unei secvențe de numere care este similară cu suma, dar care folosește multiplicarea în loc de adunare (și dă 1 pentru o secvență goală în loc de 0). Structura de bază utilizată este aceeași, cu o formă mărită a literei grecești majuscule Pi , care înlocuiește .
Suma poate fi definită recursiv după cum urmează
, pentru b < a . , pentru b ≥ a .Pentru orice număr întreg n , suma numerelor întregi de la 1 la n este egală cu:
Calculul acestei sume face obiectul unei legende referitoare la Carl Friedrich Gauss , potrivit căreia, la scurt timp după împlinirea a șaptea aniversare, și-a uimit maestrul de școală Büttner calculând foarte repede suma numerelor întregi de la 1 la 100, în timp ce profesorul se aștepta ca acest calcul să ocupă întreaga clasă mult timp. Gauss adaugă 1 cu 100, apoi 2 cu 99, apoi 3 cu 98 și așa mai departe până la 50 cu 51. El obține o sumă de 50 de ori valoarea 101 sau 5 050. Numai anecdota este poate nefondată; metoda, pe de altă parte, este corectă și se aplică oricărui număr întreg n . Îl putem reformula astfel:
Avem astfel: de unde ajungem:
O altă metodă constă în verificarea acestei formule prin inducție pe n : să denotăm S n suma numerelor întregi de la 1 la n . Formula S n = n ( n + 1) / 2 este adevărată pentru n = 1 și dacă este adevărată pentru ordinea n - 1 atunci este adevărată pentru ordinea n, deoarece
Alte dovezi folosesc aritmetica geometrică : vezi articolul Număr triunghiular , § „Metode de calcul” .
Pentru orice număr întreg n mai mare de 1, suma primelor n numere impare este n² :
Exemple:
Acesta este un caz special al sumei termenilor unei secvențe aritmetice. Aici este secvența aritmetică a rațiunii 2 și a primului termen 1 din care calculăm suma primilor n termeni.
Pentru orice număr întreg n , suma primelor n pătrate de numere întregi verifică identitatea:
Această identitate poate face obiectul multor demonstrații diferite. Cea mai simplă constă într-o demonstrație simplă prin inducție, dar necesită ca formula să fie cunoscută în prealabil. O metodă pentru a găsi formula fără ca aceasta să fie cunoscută este de a considera semnul sumă ca o operație de integrare, ceea ce duce în mod natural la căutarea unui „primitiv” de n 2 ca polinom de grad 3: P ( n ) = an ³ + bn ² + cn + d . Termenul primitiv corespunde aici unei noțiuni de integrală discretă, adică se dorește verificarea ecuației:
Această ecuație duce la valori , apoi prin însumarea identității anterioare pentru k mergând de la 0 la n , permite afișarea identității anunțate.
O altă metodă, bazată tot pe această idee a primitivului, constă în pornirea de la identitate:
și să o însumăm pentru k mergând de la 0 la n , ceea ce face posibilă obținerea:
Presupunând că formula pentru suma primelor n numere întregi este deja cunoscută , din aceasta se deduce identitatea dorită.
Aceste două metode primitive fac posibilă generalizarea la calculul sumei primelor n puteri p -eme; al doilea, însă, necesită un calcul prin inducție la p . Formulele obținute pentru p = 3 și p = 4 sunt:
; .Formulele generale, numite formule Faulhaber , implică numere Bernoulli .
Fiecare număr întreg strict pozitiv are un număr finit de divizori , care poate fi listat prin teste succesive pe numere întregi strict inferioare sau prin produse de combinații ale factorilor săi primi .
Suma divizorilor σ definește o funcție aritmetică , adică dacă a și b sunt două numere întregi prime între ele , avem σ ( ab ) = σ ( a ) σ ( b ) .
Numărul întreg 6 este perfect deoarece este egal cu suma divizorilor săi proprii: s (6) = 1 + 2 + 3 = 6 . Numărul întreg 10 este deficitar : s (10) = 1 + 2 + 5 = 8 <10 . Numărul întreg 12 este abundent : s (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16> 12 .
Pentru orice n ∈ N , pentru orice întreg k între 0 și n , a coeficientului de binomială corespunde numărului de combinații de k elemente într - un set de n elemente.
Suma acestor coeficienți pentru n fix, cu alte cuvinte suma termenilor de pe o linie a triunghiului lui Pascal , corespunde deci numărului de părți ale unui set cu n elemente, ceea ce dă egalitatea
.Suma coeficienților binomiali de-a lungul unei diagonale a triunghiului lui Pascal satisface și formula:
Sub ipoteze despre intervale și funcție , sumele Riemann sunt scrise:
Acestea permit calcularea integralei funcției :
Următoarele relații sunt identități:
(suma unei secvențe aritmetice ), prin urmare (Suma primelor n numere impare este n², vezi animația) Pentru x ≠ 1 , (a se vedea „ Seria geometrică ”). (vezi „ Constanta Euler-Mascheroni ”).Pentru exemple de sume infinite, a se vedea „ Seria (matematica) ”.
Dacă asociativitatea și comutativitatea adăugării permit teoretic să calculeze o sumă de mai mulți termeni în orice ordine, în practică aproximările succesive pot duce la rezultate diferite în funcție de ordinea aleasă.
>>> sum(1/n**4 for n in range(1, 100001)) 1.082323233710861 >>> sum(1/n**4 for n in range(100000, 0, -1)) 1.082323233711138 |