Omologia este o tehnică matematică generală utilizată pentru a măsura obstrucției care anumite apartamente de morfisme să fie exactă . Este implicat în multe domenii, cum ar fi algebra , topologia algebrică , geometria algebrică și geometria diferențială .
Un complex lanț este dat o secvență de grupuri Abeliene sau mai multe obiecte , în general , din categoria Abelian și o familie de morfisme , numite operatori de margine , cum ar fi: . Elementele sunt numite șiruri de grade . Elementele nucleului se numesc cicluri. Elementele imaginii se numesc margini. Fiecare margine este un ciclu. La grupele de omologie ale complexului sunt apoi, prin definiție .
Un complex Cochain este dat o secvență de grupuri Abeliene sau mai multe obiecte , în general , din categoria Abelian și o familie de morfisme , numite operatori coboundary , cum ar fi: . Elementele sunt numite cochains de grad . Elementele nucleului se numesc cocicluri. Elementele imaginii se numesc coborduri. Fiecare cobord este un cociclu. Grupurile de cohomologie ale complexului sunt apoi, prin definiție .
Observăm că, dacă este un complex de cochaînes, obținem un complex de lanțuri prin setare . Cu toate acestea, ambele terminologii există, deoarece poate fi neplăcut să se modifice indexarea.
De exemplu, dacă este un complex de lanțuri de grupuri abeliene, let și ( harta transpusă ). La fel și un complex de cocaine.
La orice spațiu topologic, putem asocia complexul său de lanțuri singulare și, prin urmare, omologia sa singulară . Din punct de vedere al teoriei categoriilor , omologia poate fi văzută ca un functor de la categoria spațiilor topologice la categoria grupurilor abeliene absolvite.
Putem înlocui grupurile abeliene cu moduli pe un inel comutativ.
Fiecare teorie a omologiei (în sine ) merită un articol. Următoarea listă nu este exhaustivă.