În matematică , un grup Lie este un grup cu o structură diferențială a varietății , pentru care operațiile grupului - multiplicare și inversare - sunt diferențiate . Grupurile Lie sunt numite în onoarea matematicianului norvegian Sophus Lie , care le-a introdus pentru a studia anumite proprietăți ale ecuațiilor diferențiale .
Teoria grupului Lie descrie simetria continuă (in) matematică. În fizica teoretică (de exemplu în teoria cuarcilor ), importanța sa a fost afirmată în secolul XX E.
Însuși Sophus Lie a considerat că teoria „grupurilor continue” (în sensul actual al grupurilor topologice ) a apărut în iarna 1873-1874, dar biograful Hawkins sugerează că teoria a apărut din cercetările efectuate de Lie în timpul celor patru ani (din 1869 până în 1873).
Unele dintre ideile inițiale ale lui Lie au fost dezvoltate în colaborare cu Felix Klein , pe care l-a întâlnit zilnic în zilele de octombrie din anii 1869 - 1872, mai întâi la Berlin, apoi la Paris, Göttingen și Erlangen.
Rezultatele lui Lie au fost publicate în ziarele norvegiene în anii 1870, iar opera sa s-a răspândit rapid în restul Europei. În 1884, un tânăr matematician german, Friedrich Engel , a lucrat cu Lie la crearea unei expuneri sistematice a teoriei grupurilor continue, care a fost publicată în trei volume sub titlul Theorie der Transformationsgruppen , în 1888, 1890 și 1893.
O dezvoltare importantă a teoriei a fost apoi realizată de Wilhelm Killing . Generalizarea de către Élie Cartan a condus la clasificarea algebrelor Lie semi-simple și la lucrarea lui Hermann Weyl asupra reprezentărilor grupurilor Lie compacte .
Teoria grupurilor Lie a fost explicată metodic în limbajul matematic modern de Claude Chevalley .
O structură algebrică G este un grup Lie real (respectiv complex) când:
De asemenea, este posibil să se definească un grup Lie ca o varietate diferențială dotată doar cu operații de grup diferențiate , sau chiar numai continue . Această definiție este echivalentă cu cea anterioară și este o interpretare a celei de-a cincea probleme a lui Hilbert .
Dimensiunea unui grup Lie este definită ca dimensiunea sa ca o varietate.
Există, de asemenea, o noțiune analogă a unui grup Lie p-adic atunci când varietatea diferențială subiacentă este înlocuită de un set analitic p -adic . Acesta va fi cazul, de exemplu, cu grupul de puncte p -adice ale unui grup algebric .
Un exemplu simplu este grupul matricilor de rotație plană , notate SO (2, ℝ):
Este parametrizat de un singur unghi λ: varietatea sa este deci unidimensională (un cerc). Este într-adevăr un grup deoarece inversul unui element al parametrului λ este dat de elementul parametrului λ și produsul elementelor parametrilor λ și μ este dat de elementul parametrului λ + μ.
Grupurile de minciuni pot fi clasificate în funcție de proprietățile lor algebrice ( abeliene , simple (en) , semi-simple , rezolvabile , nilpotente ) sau topologice ( conectate , conectate simplu , compacte ).
De asemenea, acestea sunt clasificate în patru tipuri, prezentate în tabelul de exemple de mai jos:
Puteți asocia în mod natural cu orice grup Lie de G o algebră Lie . Există două moduri echivalente de introducere a acestei algebre Lie. Una dintre ele este de a introduce un spațiu câmpuri vectoriale de pe G , al doilea constă în asigurarea spațiului tangent la elementul de identificare al unui bracket Lie , derivând din expresia locală a dreptului intern al G .
G denotă un grup Lie real sau complex de dimensiune n . Pentru g un element G, cererea este o Difeomorfism de soi reale sau complexe care stau la baza G . Un câmp de vectori X pe G se spune că este lăsat invariant atunci când pentru orice pereche de elemente g și h din G , avem: (unde denotăm valoarea câmpului vectorilor X la punctul a).
Pentru orice colector diferențial real sau complex M , spațiul vectorial real sau complex al câmpurilor vectoriale peste M , notat I (M) , este dotat cu o structură naturală de algebră Lie reală sau complexă, al cărei cârlig este cârligul câmpului vector. Naturalețea înseamnă exact că fiecare morfism f : M → N între colectoare induce un morfism de algebra Lie f *: I ( N ) → I ( M ). În special, pentru M = N = G , avem automorfisme ( L g ) * ale algebrei Lie I ( G ). Setul de puncte fixe comune tuturor acestor automorfisme ( L g ) * este o subalgebră Lie a lui I ( G ), notată . Elementele sale sunt câmpuri vectoriale invariante la stânga pe G .
Să T e G spațiul tangent în e la G , e reprezintă elementul neutru G . Harta (unde X e este valoarea lui X în elementul neutru) este un izomorfism liniar. Structura algebra Lie , prin urmare , poartă, prin intermediul acestui izomorfism într - o structură de algebra Lie pe spatiul vectorial T e G .
Această structură poate fi definită direct. Să presupunem că f dată unei hărți locale a lui G în elementul neutru e cu f ( e ) = 0, atunci produsul grupului Lie citit în harta locală f este de ordinul doi:
unde B este o hartă biliniară și antisimetrică. Structura algebrei Lie peste T e G este dată de
In prima prezentare, orice vector X a este prin definiție un invariant câmp vectorial stânga pe G . Invarianța spre stânga implică faptul că fluxul său este definit global. Exponențială a X este definit ca imagine la momentul 1 al elementului de identitate e al G . Mai exact, există o funcție unică c : ℝ → G a cărei derivată este dată deși astfel încât c ( 0 ) = e .
Are următoarea proprietate remarcabilă: pentru toate s și t .
Dacă există, pentru v = X e , apare o re-parametrizare, incluzând variabila t.
Putem verifica atunci
Această funcție este , de asemenea , numită funcția exponențială și conectează algebra Lie la grupul Lie G . Acesta definește un Difeomorfism între un cartier de 0 în și o vecinătate a lui e în G . Cu toate acestea, în general, cartografierea exponențială nu este nici surjectivă, nici injectivă.
Un subgrup cu un parametru al lui G este o hartă diferențiată c : ℝ → G verificând identitatea (*) de mai sus. La orice subgrup cu un parametru c este asociat cu un element unic X de verificare: .
Mai multe grupuri Lie pot împărtăși aceeași algebră Lie asociată. Cu toate acestea, oricărei algebre Lie corespunde un grup Lie simplu conectat G , unic până la izomorfism. Mai mult, acest izomorfism este determinat doar de izomorfismul asociat al algebrelor Lie. Orice grup Lie conectat a cărui algebră Lie este izomorfă se realizează ca un coeficient al lui G de un subgrup normal discret .
Se spune că un grup Lie conectat este simplu, semisimplu, rezolvabil, nilpotent sau abelian dacă algebra Lie asociată are proprietatea cu același nume. În special, clasificarea algebrelor Lie semi-simple oferă o clasificare a grupurilor Lie simplu conectate și semi-simple.
Dacă G și H sunt două grupuri Lie (ambele reale sau complexe), atunci un morfism al grupurilor Lie f : G → H este un morfism de grup care este, de asemenea, o funcție analitică (de fapt, este suficient ca f să fie continuu).
Compoziția a două morfisme ale grupului Lie este un morfism al grupului Lie și clasa tuturor grupurilor Lie este o categorie . Se spune că două grupuri Lie sunt izomorfe dacă există între ele un morfism bijectiv al cărui reciproc este și un morfism.
Teorema Cartan-von Neumann (ro) : orice subgrup închis un grup Lie are o structură diferențială unică pentru care includerea morfismului este o scădere .
Fie G și H două grupuri Lie și f : G → H un morfism al grupurilor Lie. Apoi există un morfism unic algebrei Lie : de la algebra Lie asociată cu G în cea asociată cu H , astfel încât, pentru orice câmp de vectori X invariant la stânga în G, avem, pentru toate t :
Mai mult, dacă f este și un izomorfism . Văzut ca aplicarea T e G în T e H , nu este altul decât diferențiala f calculat prin elementul neutru G .
In tabelul de mai jos, termenul A * reprezintă matricea adjuncta a unei matrice A .
Grup de minciuni | Descriere | Proprietăți | Algebra minciunii | Descriere | Dimensiune |
---|---|---|---|---|---|
ℝ n | Spațiul euclidian furnizat cu adăugarea | Abelian; pur și simplu conectat, nu compact | ℝ n | Colțarul Lie este zero | nu |
ℝ * | Numere reale diferite de zero prevăzute cu înmulțirea | Abelian; nu este conectat, nu este compact | ℝ | Cârligul de minciună este zero | 1 |
ℝ * + | Numere reale strict pozitive prevăzute cu înmulțirea | Abelian; pur și simplu conectat, nu compact | ℝ | Cârligul de minciună este zero | 1 |
Numere complexe de modul 1 furnizate cu înmulțirea | Abelian; conectat, nu pur și simplu conectat, compact | ℝ | Cârligul de minciună este zero | 1 | |
Grup liniar general : matrici reale n × n inversabile | Nu are legătură, nu este compact | N × n matrice , cârligul Lie fiind comutatorul | n ² | ||
Matrici reale n × n cu determinant pozitiv | Pur și simplu conectat, nu compact | N × n matrice , cârligul Lie fiind comutatorul | n ² | ||
Grup special liniar : matrici reale ale determinantului 1 | Pur și simplu conectat, nu compact dacă n > 1 | Matrici pătrate cu urmă zero, cârligul Lie fiind comutatorul | n ² - 1 | ||
Grup ortogonal : matrici ortogonale reale | Fără legătură, compact | Matrici antisimetrice pătrate reale, cârligul Lie fiind comutatorul; este izomorfă la și ℝ 3 cu produsul încrucișat | n ( n - 1) / 2 | ||
Grup ortogonal special : matrici ortogonale reale ale determinantului 1 | Simplu pentru n = 3 și n ≥ 5; semi-simplu pentru n = 4; conectat, compact, nu pur și simplu conectat pentru n ≥ 2 | Matrici antisimetrice pătrate reale, cârligul Lie fiind comutatorul | n ( n - 1) / 2 | ||
Spin Group | Simplu pentru n = 3 și n ≥ 5; semi-simplu pentru n = 4; conectat simplu, compact | Matrici antisimetrice pătrate reale, cârligul Lie fiind comutatorul | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupul Symplectic : matrici simplectice reale | Simplu; nu compact | Matrici reale care satisfac JA + A T J = 0 unde J este matricea antisimetrică standard | n (2 n + 1) | ||
Grup de unități : n × n matrice de unități complexe | Nu doar conectat, compact; izomorfă la S 1 pentru n = 1 | Matrici pătrate complexe A verificând A = - A * , cârligul Lie fiind comutatorul | n ² | ||
Grup unitar special : n × n matrici complexe de unități ale determinantului 1 | Simplu pentru n ≥ 2; conectat simplu, compact | Matrici pătrate complexe de zero urme A verificând A = - A * , cârligul Lie fiind comutatorul | n ² - 1 | ||
S-au remarcat și cuaternonii de modulul 1 prevăzute cu înmulțirea | Simplu; conectat simplu, compact; topologic o sferă, izomorfă la și | Cuaternioane cu zero parte reală, cârligul Lie fiind produsul încrucișat ; Izomorfă la vectori reali de dimensiunea 3, de asemenea izomorfă la , este o dublă acoperire a | 3 | ||
Grup compact compact : n × n matrici unitare cuaternionice | Simplu; compact, conectat simplu | Matrici cuaternionice pătrate A verificând A = - A * , cârligul Lie fiind comutatorul | n (2 n + 1) |
Dimensiunile sunt date pe ℂ. (Orice grup complex sau algebră Lie poate fi gândit ca un grup Lie sau algebră bidimensională reală.)
Grup de minciuni | Descriere | Proprietăți | Algebra minciunii | Descriere | Dimensiune |
---|---|---|---|---|---|
ℂ n | Spațiul euclidian furnizat cu adăugarea | Abelian; pur și simplu conectat, nu compact | ℂ n | Cârligul de minciună este zero | nu |
ℂ * | Numere complexe diferite de zero prevăzute cu înmulțirea | Abelian; nu pur și simplu conectat, nu compact | ℂ | Cârligul de minciună este zero | 1 |
Grup liniar general : n × n matrice complexe inversabile | Legat, nu doar legat, nu compact; izomorfă la ℂ * pentru n = 1 | N × n matrice , cârligul Lie fiind comutatorul | n ² | ||
Grup special liniar : matrici complexe ale determinantului 1 | Simplu; pur și simplu conectat, nu compact pentru n ≥ 2 | Matrici pătrate cu urmă zero, cârligul Lie fiind comutatorul | ( N ² - 1) | ||
Grup ortogonal : matrici ortogonale complexe | Nu este conectat, nu este compact pentru n ≥ 2 | Matrici antisimetrice pătrate complexe, cârligul Lie fiind comutatorul | n ( n - 1) / 2 | ||
Grup ortogonal special : matrici ortogonale complexe ale determinantului 1 | Simplu pentru n = 3 și n ≥ 5; semi-simplu pentru n = 4; nu pur și simplu conectat, nu compact pentru n ≥ 2 | Matrici complexe antisimetrice pătrate, Lie hook fiind comutatorul | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupul implectic : matrici simplectice complexe | Simplu; nu compact | Matrici complexe care satisfac JA + A T J = 0 unde J este matricea antisimetrică standard | n (2 n + 1) |
Dimensiunile sunt date pe ℍ.
Grup de minciuni | Descriere | Proprietăți | Algebra minciunii | Descriere | Dimensiune |
---|---|---|---|---|---|
ℍ * | Cuaternonii non-zero înzestrați cu înmulțirea | Pur și simplu conectat, nu compact | ℍ | Quaternions, cârligul Lie fiind comutatorul | 1 |
Există cinci așa-numitele grupuri Lie excepționale, notate respectiv E6 , E7 , E8 , F4 și G2 .
(ro) „ Atlasul grupurilor și reprezentărilor minciunii ” , pe NSF , Institutul American de Matematică (ro)