Morfologia matematică este o teorie și tehnică matematică și de calculator de analiză structurală , care este legat cu algebra , teoria zabrele , topologia și probabilități .
Dezvoltarea morfologiei matematice este inspirată de problemele de procesare a imaginilor , domeniu care constituie principalul său domeniu de aplicare. În special, oferă instrumente pentru filtrare, segmentare , cuantificare și modelare a imaginilor. Poate fi folosit și în procesarea semnalului , de exemplu pentru a filtra variațiile unei măsurători (fizice, biologice) în timp.
Una dintre ideile de bază ale morfologiei matematice este studierea sau tratarea unui set folosind un alt set, numit element de structurare , care servește drept sondă. La fiecare poziție a elementului de structurare, vedem dacă atinge sau dacă este inclus în setul inițial. În funcție de răspuns, construim un set de ieșiri. Astfel obținem operatori de bază relativ intuitivi.
Proprietățile care se găsesc adesea în operatorii morfologici sunt:
Acest lucru implică în special o pierdere de informații; atunci când sunt utilizați corect, acești operatori permit eliminarea structurilor care nu îndeplinesc anumite criterii, cum ar fi lățimea sau volumul.
Morfologia matematică este, de asemenea, interesată de seturi și funcții aleatorii.
Domeniul principal de aplicare a morfologiei matematice este prelucrarea imaginilor. Acesta oferă, în special, instrumente de filtrare, segmentare și cuantificare. De la apariția sa în 1964, s-a bucurat de un succes din ce în ce mai mare și acum contribuie la umplerea cutiei de instrumente a oricărui furnizor de imagini.
Morfologia matematică a fost inventată în 1964 de Georges Matheron și Jean Serra în laboratoarele Ecole des Mines de Paris . Dezvoltarea sa a fost întotdeauna puternic motivată de aplicații industriale. Inițial, a fost vorba de a răspunde la probleme din domeniul mineritului, dar foarte rapid s-au diversificat domeniile sale de aplicare: biologie, imagistică medicală, științe ale materialelor, viziune industrială, multimedia, teledetecție și geofizică sunt câteva exemple de domenii în care matematica morfologia a adus o contribuție importantă.
Morfologia matematică rămâne un câmp activ de cercetare. Acest lucru este dovedit de numeroasele publicații științifice pe această temă, precum și de simpozioanele internaționale de morfologie matematică care au loc la fiecare doi sau trei ani.
Câteva exemple de teme actuale de cercetare:
Morfologia matematică poate fi dezvoltată în cadrul abstract al teoriei rețelei . Cu toate acestea, aici este adoptată o prezentare mai practică, destinată unui potențial utilizator de instrumente de procesare a imaginilor, decât unui matematician.
Să luăm în considerare , adesea folosit ca model al suportului imaginilor binare bidimensionale, chiar dacă tot ceea ce este prezentat în această secțiune rămâne valabil în , unde este un întreg strict pozitiv. Fie un subset de , numit un element de structurare . Dacă este un element al , atunci denotăm setul tradus de :
Elementul de structurare joacă într-un fel rolul modelului local sau al sondei. Acesta este purtat peste tot pe imaginea care urmează să fie procesată și la fiecare poziție studiem relația sa cu imaginea binară, considerată ca un set. Aceste relații pot fi de tipul „este inclus în set” sau „afectează setul”, de exemplu.
În plăcuțele pătrate , elementele structurale cele mai utilizate în mod convențional sunt crucea, formată din origine și cele patru puncte cele mai apropiate, și pătratul, format din origine și cele opt puncte cele mai apropiate. Aceste două elemente structurale corespund, respectiv, a două posibile definiții ale vecinătății unui pixel sau ale tipului de conectivitate a imaginii. În plăci hexagonale , elementul de bază este hexagonul centrat.
De asemenea, introducem simetria unui set, notat :
Dacă este simetric, avem .
Extindere și eroziuneFie un subset de . Dilatarea morfologică cu elementul de structurare este definită ca suma lui Minkowski :
O altă formulare mai intuitivă este:
Dilatarea morfologică nu este în general reversibilă. Operația care într-un fel încearcă să producă inversul dilatației este eroziunea morfologică :
Dilatarea și eroziunea sunt operatorii de bază ai morfologiei matematice. Aproape toate celelalte pot fi definite folosind acestea, folosind compoziții de funcții și operații de setare.
Imagine originală (în negru: obiectul; în alb: fundalul).
Extindere cu un pătrat de 3x3: pixelii negri și gri fac parte din setul rezultat.
Eroziune cu un pătrat de 3x3: doar pixelii negri fac parte din setul rezultat.
Dilatarea este o transformare extinsă dacă B conține originea: Eroziunea este anti-extinsă dacă B conține originea: Extinderea și eroziunea sunt transformări în creștere (cum ar fi unirea și intersecția): Expansiunea și eroziunea nu sunt transformări idempotente: Pe de altă parte, dilatarea și eroziunea verifică proprietatea iterativității, ceea ce face posibilă construirea dilatațiilor sau eroziunilor cu elemente de structură homotetice: Dilatarea este o continuă transformare și eroziune este o procesare semicontinuă superior . Această proprietate rezultă direct din proprietatea intersecției din scăderea lui Minkowski.
Dilatarea este distributiv în ceea ce privește unirea și eroziunea cu privire la intersecția : Să fie o familie de elemente de structurare homotetice și o omotitate a relației . Compatibilitatea dilatației și eroziunii cu dilatația este scrisă:
Dilatarea, ca și uniunea, păstrează conexiunea . Dilatarea nu este o transformare care păstrează homotopia . Într-adevăr, conectează elemente neunite și umple găuri. Eroziunea nu este o transformare care păstrează homotopia . Acest lucru se datorează faptului că separă părțile conexe și elimină elementele atunci când acestea sunt mici. Eroziunea, ca și intersecția, nu păstrează conexiunea .
Deschidere și închidereCompoziția unei dilatații morfologice cu eroziune de către același element de structurare nu produce, în general, identitatea, ci alți doi operatori morfologici, deschiderea morfologică: și închidere morfologică: Deschiderea poate fi caracterizată geometric: conferă unirea tuturor celor incluse în . Astfel, forma elementului de structurare face posibilă alegerea structurilor care îl pot conține.
Închiderea este dualitatea deschiderii: închiderea complementului unui set este egală cu complementul deschiderii acestui set.
Se va observa că, dacă elementul de structurare nu este simetric, va trebui să utilizați elementul simetric pentru al doilea operator (dilatare în cazul deschiderii și eroziune în cazul închiderii).
Proprietăți de deschidere și închidereImagine originală
Închidere cu un pătrat 3 × 3: pixelii negri și gri fac parte din setul rezultat
Deschiderea cu un pătrat 3 × 3: doar pixelii negri fac parte din setul rezultat
Putem lua, de asemenea, două elemente structurale și să definim transformări. Dacă cerem în fiecare punct să fie în afara setului și în interior obținem transformarea totul sau nimic ( transformare hit sau miss în engleză): unde desemnează complementul setului . Această transformare face posibilă detectarea anumitor configurații precise ale pixelilor. Printre cele mai utilizate configurații vom avea:
Prin adăugarea rezultatului transformării la setul inițial obținem o îngroșare : prin eliminarea rezultatului setului inițial obținem o subțiere :
Aplicații: schelet, skiz, plic convexO imagine în tonuri de gri poate fi modelată în funcție de in . Fie o funcție care aparține acestui set. Apoi avem:
Deschiderea și închiderea funcțiilor se obțin ca în cazul setat:
Deschiderea și închiderea morfologică sunt deja instrumente interesante pentru filtrarea imaginilor. Cu toate acestea, pot modifica conturul obiectelor, o proprietate care ar putea fi neplăcută. Operatorii prin reconstrucție și mai general prin nivelare, introduși ulterior, fac posibilă depășirea acestui dezavantaj.
Îngroșarea și subțierea nu sunt, în general, operatori în creștere. Prin urmare, aplicarea lor la funcții (în practică, la imagini în nuanțe de gri) nu este banală. În literatura de specialitate au fost propuse mai multe extensii.
Detectarea de margine este o sarcină importantă în procesarea imaginilor. Morfologia matematică oferă instrumente de detectare a muchiilor neliniare, cum ar fi gradientul morfologic și Laplacian.
Gradientul morfologică , de asemenea , numit gradient de Beucher după numele inventatorului său, este definit prin:
Corespunde, într-un fel, versiunii morfologice a modulului de gradient euclidian.
Laplacianul morfologică este construit într - un mod similar:
unde este operatorul de identitate.
Toți operatorii definiți în secțiunile anterioare au fost definiți într-un cadru euclidian, și anume că spațiul de definire a imaginii servește drept referință pentru operatori. În această secțiune, vom lua din nou cei doi operatori de bază , care sunt eroziunea și dilatarea , dar rămânând în același timp într - un subspațiu al , numit spațiu de referință . De Transformările euclidiene , astfel , va deveni transformări geodezice (numite de asemenea transformări condiționate).
Geodezia este știința măsurării formei și dimensiunilor pământului. Astfel, o distanță geodezică corespunde celei mai scurte căi de a merge dintr-un punct în altul rămânând în același timp pe suprafața globului. Lungimea acestei căi, spre deosebire de distanța euclidiană, nu corespunde unui segment drept, ci celui al unui arc geodezic . Definiția arcului geodezic implică noțiunea de conectare prin arc . Se spune că un spațiu topologic este conectat prin arcuri dacă orice pereche de puncte de este conectată printr-o cale al cărei suport este inclus în .
Distanța geodezică folosește aceleași axiome ca distanța euclidiană, doar calea este diferită.
Sau patru puncte .
În partea stângă a imaginii au fost reprezentate segmentele din dreapta asociate diferitelor distanțe euclidiene. În partea dreaptă, cele trei arcuri geodezice se conectează și sunt afișate . Rețineți că punctul nu are o cale geodezică, deoarece aparține unei componente disjuncte de cea care conține celelalte trei puncte.
Distanța geodezică satisface axiomele unei distanțe. De fapt, avem:
La aceste axiome trebuie să adăugăm o a patra. Când nu există o cale geodezică, avem:Pentru aceleași puncte, este posibil să se compare distanțele geodezice și distanțele euclidiene. Vom avea întotdeauna o distanță geodezică mai mare sau egală cu distanța euclidiană cu posibilitatea de a avea o distanță euclidiană finită și o distanță geodezică infinită:Se va observa în trecere că, pentru a conecta două puncte, pot exista mai multe arcuri geodezice echivalente, în timp ce calea euclidiană este unică.
Element de structurare geodezicăÎn elementul de structurare izotrop centrat în și de dimensiune este discul închis , definit de:Discul geodezic este definit în raport cu setul de referință prin înlocuirea distanței euclidiene cu distanța geodezică în raport cu . Apoi avem:
Figura opusă ilustrează diferența dintre un element de structurare euclidian și un element de structurare geodezic. În această figură, discul a fost plasat în diferite poziții . Discul euclidian rămâne același indiferent de poziția x. Pe de altă parte, discul geodezic își schimbă forma sau poate dispărea în funcție de poziția sa. Din discul inițial, rămâne doar ceea ce rămâne pentru a verifica distanța geodezică. Astfel, punctele discului care nu sunt comune sunt ignorate (poziții ). Dacă centrul discului nu aparține , atunci discul geodezic nu există ( ).
În plus față de setul de transformat pe care îl vom numi (pentru marker), trebuie introdus setul de referință geodezică .
Expansiunea geodezicăPlecăm de la definiția euclidiană a dilatației prin înlocuirea mingii euclidiene cu bila geodezică. Apoi putem scrie: Apoi, repetăm aceste operații elementare : Următoarele figuri ilustrează efectul unei expansiuni geodezice cu un hexagon. O componentă conectată a setului poate fi dilatată numai dacă se intersectează , altfel dispare. Dilatarea se oprește la atingerea limitelor .
Setul de referință X (galben și roșu) și marcatorul M (roșu și albastru)
Extindere geodezică (hexagon dimensiunea 15) de la M la X
Extindere geodezică (hexagon dimensiunea 40) de la M la X
Întregul se comportă ca o mască în care putem modifica și se comportă ca un marker care permite invadarea unei componente conectate a .
Eroziune geodezicăÎn același mod, introducem eroziunea geodezică prin înlocuirea mingii euclidiene cu bila geodezică în expresia care definește eroziunea. Prin urmare, putem scrie:Deoarece elementul de structurare utilizat este simetric, există o dualitate între eroziune și dilatare geodezică. Această dualitate este exprimată într-un mod ușor diferit decât în cazul euclidian, deoarece este complementar cu privire la care trebuie luat în considerare. Această relație de dualitate este apoi scrisă cu operatorul de diferență simetrică :Cifrele ilustrează efectul eroziunii geodezice asupra unui ansamblu față de utilizarea unui element structural hexagonal.
Setul de referință X (galben și roșu) și marcatorul M (roșu)
Eroziune geodezică (hexagon dimensiunea 15) de la M la X
Observăm că părțile din , complet incluse în și care nu au granițe comune, se erodează ca în cazul euclidian. Atunci când există granițe comune, acestea nu sunt afectate de eroziune.
Reconstrucția unui set dintr - un alt este una dintre principalele aplicații ale expansiunii geodezic. Prin urmare, pornim de la două seturi; primul se numește setul de markeri notați , al doilea este setul de referință sau masca . Prin definiție, reconstrucția este o expansiune geodezică infinită, în ceea ce privește markerii . Este scris: Când toate componentele conectate care conțin markeri sunt invadate, imaginea nu mai poate fi modificată. Acesta constituie testul pentru oprirea procedurii . Următoarele figuri ilustrează reconstrucția din marcatori .
Setul de referință X (galben și roșu) și marcatorul M (roșu)
Reconstrucția lui X din M markeri
Reconstrucția corespunde deci unei închideri algebrice a markerilor .
Aplicații de reconstrucție pentru ansambluriVom menționa aici doar cele mai importante.
Reconstrucția eroziuniiÎn eroziune-reconstrucție , markerii vor fi erodarea euclidiană și dilatația euclidiană va fi înlocuită de dilatarea geodezică a markerilor față de ansamblu . Este scris:Această eroziune-reconstrucție este ilustrată de următoarele figuri și comparată cu deschiderea geodezică folosind același element de structurare.
Setează X1 (galben și roșu) și dimensiunea de eroziune hexagonală 11 (M1 = roșu)
Reconstrucția lui X1 din M1
Diafragmă geodezică X1 (roșu: hexagon dimensiunea 11)
Pentru unele aplicații analitice, este necesar să se elimine componentele conectate de la care se intersectează marginea câmpului vizual . Pentru a face acest lucru, acestea trebuie izolate prin reconstruirea lor dintr-un marker format din toți pixelii de la marginea câmpului , notat și scăzut din . Prin urmare, procedura va fi după cum urmează:Setul conține doar componente conectate incluse complet în . Acest lucru este ilustrat de următoarele figuri.
Setați X2 (galben) și marginea câmpului dZ (roșu)
Componentele conexe ale X2 reconstituite, intersectând marginea câmpului (roșu)
Componentele conexe ale X2 complet incluse în câmpul Z
Reconstrucția este utilizată într-o operație care este adesea utilizată în procesarea imaginilor: obturarea găurilor . Ca și în aplicația anterioară, markerul este . Algoritmul este după cum urmează:Următoarele figuri ilustrează succesiunea operațiilor.
Setați X3 (galben) și marginea câmpului dZ (roșu)
Complementară setului X3 (galben) și marginea câmpului dZ (roșu)
Reconstrucția complementului X3 din dZ
Înfundarea găurilor X3
Luați în considerare un set prezentat în figura următoare. Cele erodează final apar în timpul o succesiune de eroziuni de către un convexă element structural . Acestea sunt formate prin unirea componentelor conectate care dispar în timpul eroziunii de dimensiuni imediat mai mari.
Fie o eroziune digitală elementară și iterată de ordinul i. Eroziunea finală derivată și notată este apoi definită ca „reziduul” dintre și deschideri prin reconstrucția fiecărei eroziuni în cea anterioară:Eroziile finale corespund unirii tuturor acestor reconstrucții variind de la 1 la imax atunci când nu mai rămâne nimic de eroziune.
Aceste erodări finale pot fi obținute și din funcția maximă a distanței utilizând o metodă geodezică pentru funcțiile prezentate mai jos. În timp ce rămân în domeniul stabilit, erodările finale servesc la marcarea părților convexe ale obiectelor și pot fi utilizate pentru a segmenta agregatele de particule convexe.
În ceea ce privește cazul setat, vom avea o funcție de referință și o funcție care va fi transformată . Cei doi operatori de bază sunt încă expansiunea geodezică și eroziunea geodezică.
Extindere geodezică pentru funcțiiExtinderea geodezică elementară a sub este exprimată într-un mod similar cu cel folosit pentru seturi.
În cazul funcțiilor, aceste elemente vor fi elemente izotrope plate și convexe . De fapt, avem:Pentru o extindere geodezică de orice dimensiune, vom avea și:
Interpretarea unei funcții f (x) definită în R1-RImaginile în tonuri de gri sunt funcții definite în . Pentru a facilita viziunea comportamentului operatorilor, vom folosi o funcție definită în . Sau, de asemenea, o funcție definită în același spațiu. Pentru exemplul nostru, singura posibilitate este un „element plat de structurare” alcătuit dintr-un „segment drept” de lungime centrată.
Următoarele figuri ilustrează cazul unei extinderi geodezice de dimensiuni .
Funcția f (x) (galben și roșu) și markeri m1 (x) (roșu)
Extinderea mărimii 20 a marcajelor m1 (x) (roșu) sub funcția f (x) (galben și roșu)
Observăm că markerii dilatați rămân întotdeauna sub funcție . Cu un element plat de structurare , ale cărui părți rămân inaccesibile expansiunii. Sunt părți convexe, inclusiv maxime .
Rețineți că markerii sunt, în general, aleși astfel încât să avem:
Eroziune geodezică pentru funcțiiPrin definiție, eroziunea geodezică elementară este dată de:În ceea ce privește dilatația geodezică, vom avea prin iterație:Eroziunea geodezică pentru funcții este dedusă și din expansiunea geodezică pentru funcții prin dualitate. Să numim „nivelul maxim de gri susținut de imagine”. Vom avea apoi:
Această expresie este, de asemenea, cea utilizată pentru a construi orice eroziune geodezică.
Interpretarea unei funcții definite în R1-RCifrele ilustrează comportamentul eroziunii geodezice pentru o funcție .
Funcția f (x) (galben) și markeri m2 (x) (galben și roșu)
Dimensiunea 15 eroziune a markerilor m2 (x) (galben și roșu) pe funcția f (x) (galben)
Rețineți că funcția erodată reține reziduuri în părțile concavă ale funcției . Acest rezultat este simetric cu cel obținut prin expansiunea geodezică.
Reconstrucție pentru funcțiiAșa cum am făcut pentru seturi, este posibil să reconstituim funcțiile geodezic în raport cu o altă funcție. Trebuie luate în considerare două cazuri.
Prima cifră ilustrează rezultatul obținut în cazul reconstrucției de sub funcției și a doua figură, reconstrucția a peste funcției .
Reconstrucția markerilor m1 (x) (roșu) sub funcția f (x) (galben și roșu)
Reconstrucția markerilor m2 (x) (galben și roșu) pe funcția f (x) (galben)
Maximelor regională a unei imagini sunt punctele de imagine din care se coboară numai căi. Fie o imagine. Din această imagine, vom construi o imagine a markerilor prin scăderea unui nivel de gri din . vom avea deci:Apoi, efectuăm o reconstrucție a sub și prin diferență cu , obținem maximele regionale . Deci avem :
Minimul unei funcțiiPentru căutarea minimelor regionale ale unei funcții, se aplică același principiu. În primul rând, formăm imaginea markerilor:Apoi, efectuăm o reconstrucție a pe și prin diferență cu , obținem minimele regionale . Deci avem :
Maxime și minime extinseGăsirea maximelor și minimelor unei funcții oferă rezultate foarte bune dacă imaginea nu este zgomotoasă. În prezența zgomotului, noțiunea de maxime și minime extinse , numite și Hmax și Hmin , face posibilă extragerea dintr-o imagine doar a extremelor semnificative. Algoritmul este similar cu cel al maximelor și minimelor. Doar construcția markerilor este ușor diferită. Într-adevăr, în loc să traducă imaginea cu un nivel de gri (mai puțin sau mai mult), se efectuează o traducere a h mai mult sau mai puțin niveluri de gri. Hmax și Hmin apoi sunt scrise după cum urmează.
Următoarele figuri ilustrează construcția Hmax în cazul unei funcții .
Funcția f (x) (galben și roșu) și markeri m (-h) (roșu)
Funcția (fx) (galben și roșu) și Hmax de f (x) (roșu)
Cu titlu de exemplu, rezultatul este prezentat în cazul imaginii unei plăci zgomotoase la nivel de gri. Maximele regionale ale acestui pavaj sunt inutilizabile din cauza zgomotului. Pe de altă parte, Hmax face posibilă vizualizarea plăcilor fiecărui bloc.
Imagine (în tonuri de gri) a unei plăci zgomotoase
Maxim de pavaj zgomotos
Hmax (h = 30) a pavajului zgomotos
Filtrarea morfologică a Hmax printr-o deschidere de dimensiunea 1 urmată de o închidere de dimensiunea 10.
Căutarea maximelor semnificative poate fi îmbunătățită prin filtrarea imaginii binare rezultate, așa cum se arată în figura următoare. „Hmin” sunt obținute și prelucrate în mod analog.
Segmentarea unei imagini în tonuri de gri constă în producerea unei partiții a mediului de imagine, astfel încât regiunile partiției să corespundă obiectelor prezente în imagine.
Filtrele morfologice sunt un ajutor valoros într-un proces de segmentare. În special, nivelările permit filtrarea imaginilor păstrând în același timp contururile importante, ceea ce simplifică operația de segmentare efectivă. În unele cazuri, filtrarea intensă poate produce singură un scor relevant. Dar cel mai faimos instrument morfologic în segmentarea imaginii este linia bazinului hidrografic .
Există mai mulți algoritmi pentru segmentarea pe bazinul hidrografic. Ideea de bază este de a simula o inundație a imaginii, văzută ca un relief topografic în care nivelul de gri corespunde altitudinii. Limitele dintre regiunile partiției tind apoi să fie plasate pe liniile de creastă. De obicei, aplicăm acest operator la gradientul imaginii (norma de gradient euclidiană sau gradientul morfologic) pe care dorim să îl segmentăm și, în consecință, marginile sunt plasate într-un mod privilegiat pe liniile gradientului ridicat.
Mai mulți algoritmi de calcul al divizării au complexitate liniară în funcție de numărul de pixeli din imagine, ceea ce îi plasează printre cele mai rapide metode de segmentare.
Inițial morfologia matematică este concepută pentru a procesa și analiza imagini ale materialelor biologice sau imagini pentru a extrage informații cuantificate ca parametri sau funcții . Aici, ne vom limita la imagini 2D definite în spațiu și la sub spații . În acest caz, spațiul este reprezentat de o grilă de puncte. Sunt luate în considerare două cazuri: grila pătrată ( pavaj pătrat ) și grila triunghiulară ( pavaj hexagonal ). În ceea ce privește parametrii, știm că pot fi obținuți din caracteristica Euler-Poincaré sau din numărul de conectivitate al diferitelor spații, notat pentru spațiu .
Pavajul pătrat al unui set X
Setați configurația X și vecinătate pentru a obține N1 (placare pătrată)
Setați configurațiile X și vecinătate pentru a obține N2 (placare pătrată)
Acest spațiu corespunde rețelei de puncte asociate pixelilor.Pe imaginea binară, este egal cu numărul de pixeli la 1.
Spațiul R 1 : N 1 ( X )Liniile care pot fi utilizate corespund pixelilor aliniați. Capetele segmentelor acestor linii de tăiere corespund (la ieșire) cu tranziții pixel de tip 1 0. Imaginea binară asociată este obținută printr-o transformare totală sau nimic. Din punct de vedere practic, aceasta echivalează cu verificarea, pentru fiecare pixel , a configurației vecinătății . Elementele 1 ale configurației se referă la întreg și cele la 0 la cel complementar. Prin urmare, vom avea:Pentru grup: Pentru măsurare:
Elementele structurale din diferite pavaje sunt:
(Celelalte orientări de 60 ° și 120 ° se obțin prin rotirea configurației.)
(Celelalte orientări de 45 °, 90 °, 135 ° se obțin prin rotirea configurației.)
Spațiul R 2 : N 2 ( X )Reamintim că corespunde numărului de componente conectate minus numărul de găuri pe care le conțin.
Pentru a determina acest număr cu faianța triunghiulară, folosim relația Euler : În teselări hexagonale s reprezentând numărul de vârfuri (pixeli la 1), c numărul laturilor de tip 1-1 (până la o rotație) și f numărul de triunghiuri având cele 3 vârfuri la 1. Un calcul elementar pe toate combinațiile oferă următorul rezultat:Pentru seturi: și Pentru măsurare:
Elementele structurale din diferite pavaje sunt:
și .
și .
În ceea ce privește numerele de conectivitate, parametrii metrici de bază trebuie să verifice condițiile lui Hugo Hadwiger . Setul trebuie să fie un set aleatoriu staționar constând dintr-o uniune finită de convexe. Măsura trebuie să aibă următoarele proprietăți:
Parametrul metric este lungimea totală a setului notat . Acesta este calculat din și dimensiunea pixelului . De fapt, avem:
În R 2Acești parametri metrici sunt:
Se calculează din și suprafața pixelului . De fapt, avem:
Pentru a obține acest perimetru, vom folosi relația Cauchy ( geometrie integrală ) care leagă variația diametrală a unui set de perimetrul său:cu dimensiunea pixelilor. Rețineți că estimarea acestui perimetru are un aspect statistic. Numărul de conectivitate trebuie estimat în mai multe direcții.
Ilustrația relației Cauchy
Ilustrația relației lui Crofton
Ilustrația relației lui Meunier
Geometria integrală oferă , de asemenea , accesul la setările folosind numerele de legătura dintre zonele mai joase.
Imaginile destinate studiilor științifice sunt adesea obținute de la un microscop al cărui câmp este mai mic decât ansamblul care urmează să fie analizat. În acest caz, spunem că analiza este locală spre deosebire de analiza globală în care întregul este complet vizibil.
De parametrii globali definiți anterior trebuie să fie transformate în parametri locali redus la unitatea de spațiu.
Parametrii locali ai spațiului R 0Parametrii stereologici sunt parametri medii. În plus, nu sunt mulți dintre ei. Este ușor de văzut că sunt insuficiente pentru a oferi o descriere destul de completă a structurii. Dacă se acceptă pierderea aspectului stereologic, morfologia matematică face posibilă obținerea multor informații cantitative suplimentare. Această cuantificare depinde adesea de un parametru de dimensiune asociat transformărilor imaginii. Cuantificarea va duce la o operație de sortare , a cărei numărare sau măsurare va duce la o funcție de dimensiune a particulelor . Răspândirea unui set în altul este, de asemenea, ceva important de știut. Stereologia oferă doar un parametru derivat care nu răspunde la întrebare.
Metoda de sortare trebuie să verifice următoarele reguli:
Distingem dimensiunile prin număr și dimensiuni capabile .
Acest tip de analiză este posibil doar dacă setul care urmează să fie analizat constă dintr-o colecție de obiecte total disjuncte. Fiecare obiect este izolat și apoi măsurat conform unui criteriu de dimensiune (suprafață, perimetru, diametru Féret etc.). Rezultatul măsurătorii face posibilă plasarea acestui obiect într-o clasă de mărime.
Pentru a face măsurătorile menționate, este necesar ca obiectul să fie complet inclus în câmpul de măsurare. Prin urmare, trebuie să-i eliminăm pe cei care au tăiat marginea câmpului. Am văzut că acest lucru este ușor de realizat prin morfologia matematică. Cu toate acestea, cu cât este mai mare dimensiunea unui obiect, cu atât este mai probabil să elimini un obiect. Aceasta va introduce o prejudecată în analiza dimensiunii particulelor. Pentru a rezolva această problemă, este necesar să puteți cunoaște probabilitatea ca un obiect să fie inclus în câmp . Cu toate acestea, am văzut că oferă setul de puncte în care este complet inclus .
Acest raționament poate fi transcris pentru a rezolva problema noastră, încercând să erodăm masca dreptunghiulară prin . Este ușor de văzut că vom obține exact același rezultat dacă înlocuim prin dreptunghiul minim circumscris de aceeași orientare ca și . Probabilitatea de includere este apoi ușor calculată:În această expresie, reprezintă partea orizontală și partea verticală a câmpului (index Z) sau dreptunghi (index R). Biasul va fi apoi corectat prin creșterea clasei de mărime nu cu 1 ci cu . Această metodă corectivă a fost propusă de Lantuéjoul .
Analiza dimensiunii particulelor prin deschiderea cu un element de structurare bidimensionalăMediul complementar al obiectelor din figura 1 nu poate fi tratat prin această metodă, deoarece noțiunea de obiect individual nu mai are nicio semnificație. Cu toate acestea, axiomele lui Matheron sunt valabile atunci când deschiderea se face cu un element de structurare convex . Într-adevăr, un element de structurare convex face posibilă construirea unei familii de aceeași natură, din care toți membrii sunt deduși din elementul mărimii 1 printr-un raport de omotitate a mărimii . Acest tip de granulometrie este o granulometrie în măsură, deoarece deschiderea nu are proprietăți topologice bune (un obiect poate fi împărțit în două prin deschidere). Pentru o imagine definită în , singura măsurătoare utilizată este aria setului deschis.
Set boolean de discuri circulare (X = BD)
Diafragmă hexagonală cu dimensiunea de 5 pixeli pe BD și masca erodată (cyan)
Diafragmă hexagonală de dimensiune 20 pixeli pe BD și mască erodată (cyan)
În analiza locală, masca de măsurare trebuie luată în considerare și, prin urmare, funcționează într-o mască erodată, deci avem: Există un caz special în care dimensiunea particulelor poate fi stabilită în funcție de număr. Este atunci când setul este format din obiecte convexe disjuncte. În acest caz, vom avea:
Analiza dimensiunii particulelor prin deschiderea cu un element de structurare liniarăElementul de structurare liniară este notat în mod tradițional . Regulile se aplică în același mod ca și pentru deschiderea bidimensională, dar aici granulometriile în măsură și în număr pot fi întotdeauna calculate, deoarece intersecția unui set cu o linie dă întotdeauna segmente de linii convexe prin definiție. Dimensiunile corespunzătoare ale boabelor sunt date de următoarele expresii pentru mărimile boabelor măsurate și mărimile boabelor în număr:
Funcția P ( l )
De fapt, nu este necesar să parcurgeți deschiderea pentru a obține aceste mărimi de cereale, ci că se poate opri la eroziunea care dă funcția . Această funcție este definită de:
Această funcție are o serie de proprietăți remarcabile:
Set boolean cu boabe de pește (X = BP)
Eroziune liniară de dimensiune 10 pixeli pe BP și mască erodată (cian)]
Eroziune liniară de dimensiune 20 pixeli pe BP și mască erodată (cian)
Conform relațiilor precedente, avem imediat: și
Să presupunem că setul este transparent și complementul este opac. Dintr-un punct aparținând , putem defini un domeniu , format din toate punctele vizibile y ale lui x. se va numi '' 'steaua dimensiunii 2' '' 'asociată cu punctul x.
Repetând aceeași operație pentru toate punctele lui , putem defini într- o stea medie caracterizată prin aria sa. Este scris:Luați în considerare elementul de suprafață orientat de-a lungul . Acest element aparține stelei și va avea pentru probabilitate condiționată raportul: Folosind definiția și asumând izotropul mediu, avem: Același raționament se poate face pentru . Steaua din este definită de: Ceea ce dă în cazul izotrop: Steaua în definește un volum mediu în măsură și în , o zonă medie în măsură. Dacă este o uniune de convexe disjuncte, steaua reprezintă un set convex mediu. Deoarece este măsurabilă din , steaua are proprietăți stereologice.
Studiul dispersiei presupune cel puțin un set și complementul său, ambele non-goale. Parametrii stereologici care au fost definiți se referă la un singur set, și la analiza dimensiunii particulelor. În morfologia matematică, există o funcție care face efectivă posibilă testarea stării de dispersie a unui set în altul. Această funcție se numește „funcția de covarianță”. Corespunde măsurării erodate de un element de structurare format din două puncte îndepărtate ale h. Deoarece eroziunea este construită din scăderea lui Minkowski, este ușor să obțineți rezultatul eroziunii cu h, deoarece acest element de structurare conține doar 2 puncte distanță de h. Pentru a face acest lucru, pur și simplu traduceți imaginea și luați intersecția cu traducerea.
Prin urmare, vom avea:
Covarianță simplăCovarianța este utilizată în principal în cazul local. În acest caz, definim funcția de covarianță într-o mască de măsurare Z prin:
Proprietăți de covarianțăLa fel ca funcția , funcția are o serie de proprietăți. Astfel, avem:
De exemplu, luăm cazuri limită:
În exemplul ales, scăderea covarianței continuă până la valoarea asimptotică. Deoarece analiza a fost efectuată doar pe un câmp, concordanța dintre asimptota teoretică și asimptota experimentală nu este perfectă. Trecerea ușoară printr-un minim arată un mic efect de respingere între discuri.
Aspectul periodic al structurii are ca rezultat oscilații ale curbei de covarianță. Primul minim corespunde unei grosimi medii a unei lamele și primul maxim grosimii medii a perechii lamele-complementare.
Covarianța este mai complexă de interpretat, dar putem estima distanța mea medie între clustere.
Eroziune cu h (10 pixeli) pe un set de discuri boolean (X: galben și roșu, eroziune cu h: roșu, eroziune mască: cyan)
Covarianță pe setul de discuri boolean
Eroziune cu h (24 pixeli) pe un set lamelar (X: galben și roșu, eroziune cu h: roșu, eroziune mască: cian)
Covarianță pe ansamblul lamelar
Eroziune cu h (24 pixeli) pe un set de clustere (X: galben și roșu, eroziune cu h: roșu, eroziune a măștii: cian)
Covarianța pe setul de clustere
Parametrii stereologici sunt puțini, iar caracterizarea dimensiunii prin funcțiile de dimensiune a particulelor are un caracter stereologic numai pentru dimensiunile liniare ale particulelor. Același raționament poate fi susținut și pentru funcția de covarianță.
Dacă acceptăm să rămânem în spațiu, celelalte dimensiuni ale boabelor, studiul formei și anizotropiei fac posibilă completarea informațiilor morfologice. Cu aceste metode, ne aflăm în posesia unui număr mare de parametri și a mai multor distribuții, dar pe de altă parte, lizibilitatea caracterizării nu mai este evidentă.
O altă abordare mult mai sintetică este modelele probabiliste. Acestea sunt concepute pentru a caracteriza seturile aleatorii. Desigur, nu toate seturile reale pot fi descrise de astfel de modele. În primul rând, aceste seturi trebuie să fie staționare spațial pentru a putea fi modelate cu ușurință.
Pentru a putea observa o morfologie, este necesar ca un set să nu umple tot spațiul. Prin urmare, vom avea cel puțin un mediu cu două componente: întregul și complementul său . Obiectele care constituie acest set pot fi puncte, precum și linii drepte sau orice subseturi. Setul , astfel obținut, prin urmare , va fi un set aleator topologic închis numit RACS (random închisă Set) și bine descrise în cărțile de Matheron, Serra, Stoyan și Jeulin . Această restricție este importantă pentru a menține proprietăți bune, dar nu foarte supărătoare în practică. Astfel, un RACS va rămâne un RACS după o operație de eroziune de dilatare ... Alegerea unui model depinde de o anumită cantitate de cunoștințe a priori . În cazul materialelor sau al sistemelor, numărul fazelor morfologic discernibile este primul element. Prin urmare, vom avea două categorii principale:
Un RACS poate fi caracterizat printr-o probabilitate de evenimente corespunzătoare măsurilor morfologice, cum ar fi probabilitatea de a include un compact într-un set sau complementul acestuia. Acesta este rolul atribuit capacității Choquet definit de:
De asemenea, putem defini din probabilitatea ca intersecția dintre și să fie goală:
În același mod în care o funcție de distribuție definește o variabilă aleatorie, cunoașterea capacității Choquet pentru orice compact face posibilă definirea completă a unui model probabilistic. Evident, nu orice compact posibil poate fi testat. Vom fi mulțumiți de cele mai simple.
Proprietățile RACSRACS poate sau nu să verifice o serie de proprietăți.
Divizibilitate infinităUn RACS este infinit divizibil dacă este echivalent cu unirea a n RACS independenți de aceeași natură. Intersecția unui model infinit divizibil cu un subspațiu păstrează natura modelului generat. Aceasta constituie o caracteristică de natură stereologică. Pentru un astfel de RACS și un compact dat, capacitatea Choquet este o expresie a formei:
cu:
StabilitateUn RACS infinit divizibil este stabil prin uniune dacă funcția îndeplinește ecuația:
cu
CalculabilitateUn RACS are proprietatea de calculabilitate dacă pentru anumite compacte , capacitățile Choquet au formule explicite. Acest lucru va face posibilă verificarea dacă o structură reală poate corespunde realizării unui RACS fără a efectua o simulare. Când capacitatea Choquet nu poate fi calculată, se pot utiliza cantități caracteristice legate de parametrii modelului.
Procesul punctului PoissonPunctul de plecare al tuturor modelelor probabilistice este un proces aleatoriu. Trebuie să existe un proces în care numărul de puncte care intră într-un subset este independent de numărul care intră . Procesul de distribuție Poisson îndeplinește această condiție. Probabilitatea ca n puncte ale unui proces de densitate Poisson să aparțină unui set este dată de:
Modelele de partiții aleatorii sunt seturi care împart spațiul în mai multe subseturi închise și delimitate numite clase. Unirea tuturor subseturilor sale umple tot spațiul . Principalele modele de scor sunt: scorul Voronoi , scorul Johnson Mehl , mozaicul Poisson și frunzele moarte . Dacă toate aceste modele provin dintr-un proces Poisson punctual, construcția și proprietățile lor sunt foarte diferite. Ultimul va fi prezentat după modelul lui Boole Matheron, care este un model polifazic.
Scorul lui VoronoiPentru a construi o partiție sau o diagramă Voronoi , stabilim puncte conform unui proces care respectă legea densității Poisson . Fiecare punct corespunde unei zone de influență care este definită de:
cu distanța de la la
Această zonă de influență este un poligon convex în și un poliedru convex în .
Simplitatea modelului a determinat mulți autori să-l folosească pentru a descrie structuri celulare sau granulare. Dar, scorul Voronoi nu este infinit divizibil, deoarece un scor Voronoi în nu generează un scor Voronoi în . Mai mult, nu cunoaștem o expresie analitică a capacității Choquet a acestei partiții pentru compactele obișnuite. Pentru a compara o secțiune plană a structurii reale cu un model Voronoi din , avem câteva caracteristici rezumate de Miles, o funcție a densității Poisson .
În cazul unei partiții Voronoi în , există relații similare folosind funcția și densitatea Poisson .
În plus, densitățile peretelui despărțitor și caracteristici „stea“ , , și sunt conectate la densitatea procesului Poisson cu următoarele relații:
Aceste funcții stelare sunt calculate din momentele funcției , (probabilitatea includerii unui segment într-un bob).
Avem :
Modelul Johnson-Mehl se bazează, de asemenea, pe un proces punctual Poisson. Cu toate acestea, modelul este secvențial (funcția timpului). Fiecare secvență este alcătuită din două procese elementare:
Cu toate acestea, nu toți germenii creați vor da neapărat naștere unui „bob”. Dacă germenul apare într-un miez deja format, acesta dispare. Construcția se oprește când complementul boabelor a dispărut complet. Boabele care constituie partiția au limite hiperbolice și limite hiperboloide în . Prin urmare, acestea nu sunt întotdeauna convexe, dar le cunoaștem caracteristicile, în special funcția de distribuție a numărului de vecini.
Construcția modelului lui Johnson Mehl (câțiva pași)
Construcția modelului lui Johnson Mehl (câțiva pași)
Construcția modelului lui Johnson Mehl (câțiva pași)
Construcția modelului lui Johnson Mehl (rezultatul final)
La fel ca în cazul partiției Voronoi, modelul Johnson-Mehl nu are proprietăți stereologice. În cazul în care este constantă, există relații legate de funcție :
Partiția spațiului conform unui proces Poisson este realizată de linii Poisson. Liniile Poisson sunt construite după cum urmează. Să fie o linie de orientare între și și care trece prin originea planului. Pe această linie, efectuăm un proces de densitate punctual Poisson . În fiecare dintre aceste puncte, stabilim o linie Poisson perpendiculară pe . În cazul unui set de date mozaic izotrop, este constant și valoarea lui este aleasă în conformitate cu o lege a probabilității uniformă.
Spațiul este apoi împărțit într-o infinitate de poligoane aleatorii numite poligoane Poisson.
O construcție similară în spațiu va duce la un spațiu împărțit într-o infinitate de poliedre Poisson. Unghiul este apoi între 0 și steradieni. Liniile Poisson sunt înlocuite cu planuri Poisson perpendiculare în funcție de o densitate .
Spre deosebire de modelul Voronoi, mozaicul Poisson are proprietăți stereologice. În primul rând, modelul de parametri poate caracteriza poliedrul mediu prin volumul său mediu , aria medie și integralul curburii medii . Avem într-adevăr relațiile:
Pe de altă parte, un mozaic Poisson în , de parametru , intersectat de un plan, generează un mozaic Poisson în mozaic de parametru cu:
Setul de date mozaic Poisson este rar folosit pentru a modela o partiție a spațiului. Pe de altă parte, permite generarea de cereale aleatorii pentru modelele polifazate.
Un mod de partiție final nu va fi discutat în această secțiune, este modelul de frunze moarte pe care îl vom vedea mai detaliat în secțiunea următoare.
RACS multifaziceUn grup foarte important este seturile închise aleatorii multifazice. Ele pot fi clasificate în trei grupe.
Acest model, numit și diagramă booleană, este construit după cum urmează. În fiecare punct al unui proces de densitate Poisson , plasăm un bob primar. Diagrama booleană este uniunea tuturor acestor boabe primare (figura din stânga).
Set de Boole Matheron (galben), (30 germeni, dimensiune 20 discuri)
Set de Boole Matheron (galben), (discuri de dimensiuni variabile)
Set Poissonian Grain Boole Matheron (galben)
Pentru acest set, am generat un proces punctual și am înlocuit fiecare punct cu un dodecagon de dimensiuni unice (bob primar). A doua figură reprezintă un model de Boole Matheron construit cu discuri de dimensiuni variabile. Pentru ultima figură, granulele primare ale modelului sunt poligoane Poisson, obținute prin tragere la sorți dintr-o partiție așa cum am făcut în secțiunea anterioară.
ProprietățiModelul Boole Matheron are proprietăți foarte bune. Este infinit divizibil, stabil și calculabil. Într-adevăr, dacă este bobul primar al diagramei booleene, avem relația:
este așteptarea măsurii Lebesgue a setului dilatat de compact .
Capacitatea lui Choquet poate fi încă scrisă:
este eroziunea complementarului de către compact . Pentru a testa un model Boole Matheron după capacitatea Choquet (sau funcționalul complementar), este suficient să se estimeze conținutul erodat de una sau mai multe familii de compacte . Fiecare familie fiind definită de setul de compacte omotetice. Un model Boole Matheron va fi definit de densitatea Poisson și de bobul primar caracterizat printr-o formă și o distribuție de mărime.
Dacă bobul principal este geometria convexă și simplu, modelul Boolean Matheron va fi calculabile de parametrii stereologice de cereale medie : . În cazul boabelor sferice, parametrii stereologici pot fi calculați din momentele 3, 2 și 1 ale distribuției mărimii particulelor . Avem, de fapt, relațiile:
În cele din urmă, întrucât unirea modelelor Boole Matheron este întotdeauna un model Boole Matheron, există multe soluții disponibile pentru abordarea modelării unei structuri reale.
Unele compacte sunt deosebit de interesante pentru testarea unui model Boole Matheron. Acestea sunt punctele , segmentele , hexagonele de mărime r , bipunctul și, pentru unele modele, tripletul de puncte definit de vârfurile unui triunghi echilateral. Pentru compactele convexe și apelând conținutul setului complementar, avem următoarele relații:
Pentru bipunct , folosim covariograma medie geometrică în locul covarianței . Covariograma este legată de covarianță prin expresia:
În cazul boabelor de pește, avem:
Când avem boabe sferice, covariograma geometrică este o funcție a distribuției. Apelând la dimensiunea maximă a bobului primar, avem:
Modelul frunzelor căzute este o schemă booleană secvențială. Versiunea monofazată a modelului se datorează lui Jeulin. Construcția este după cum urmează. Boabele primare sunt generate de un proces de densitate Poisson . Spre deosebire de schema booleană, boabele se pot suprapune. Cele mai vechi pot dispărea sub cele mai noi. Procesul poate fi oprit după un timp t. Dacă mass-media nu este acoperită complet, procesul arată un pic ca o schemă booleană. De asemenea, puteți continua până la staționare. Partiția acoperă apoi complet suportul.
În cazul unui model de „frunză moartă în două faze”, boabele primare din faza 1 și faza 2 apar succesiv cu densitățile respective și . Procesul se repetă până la staționare. Rămâne o structură în două faze, în care cele două faze sunt cuibărite una în cealaltă.
Construirea unui model de frunze căzute în două faze cu discuri albastre și galbene
Construcția finalizată a unui model cu două faze de frunze căzute cu discuri albastre și galbene
Aceste modele sunt infinit divizibile și, prin urmare, generează modele echivalente în subspatii. Calculabilitatea nu este la fel de puternică ca în cazul schemei booleene. Capacitățile de selecție pot fi calculate numai pentru punctul bi distanțat de h și pentru tripletul de puncte îndepărtat de h . Când se testează punctul bi, folosim funcția definită de:
cu conținutul fazei 1 și cel al fazei 2 și
Cu titlu ilustrativ, prezentăm câteva realizări cu discuri circulare sau poligoane Poisson ca boabe primare.
Model cu două faze de frunze căzute cu discuri albastre și galbene
Model de frunze căzute în două faze, cu boabe de pește albastre și galbene
Pentru a construi o partiție Poisson polifazată, trebuie să construim o partiție monofazică și să atribuim clasele unei faze date în mod aleatoriu. Parametrii modelului (mile) sunt conținutul fiecărei faze și care caracterizează partiția Poisson. În cazul partiției Poisson în două faze, proprietățile sistemului monofazat sunt păstrate.
Legile analitice sunt cunoscute pentru , și
Într-un model Boole Matheron sau un model cu frunze moarte, sâmburii primari se pot suprapune. Pentru a construi modelul Stienen, pornim întotdeauna de la un proces Poisson cu densitate punctuală . Dar fiecare punct va fi înlocuit cu cea mai mare sferă conținută în celula corespunzătoare Voronoi. În aceste condiții, sferele nu se suprapun ci se pot atinge (figura din stânga). A fost generalizată prin reducerea dimensiunii sferelor cu un factor (figura dreaptă).
Model Stienen cu alfa = 1 (roșu) și partiția Voronoi asociată (chenar albastru)
Model Stienen cu alfa <1 și partiție Voronoi asociată (chenar albastru)
În cazul modelului inițial ( ), conținutul sferelor este constant, deoarece avem:
Mai mult, distribuția sferelor este cunoscută deoarece este direct legată de distribuția distanțelor celor mai apropiați vecini ai unui proces Poisson. De fapt, avem:
Căci sferele nu mai sunt în contact (figura 14). Funcția de corelație a unei perechi de puncte în funcție de distanța r poate fi calculată prin integrare numerică. În cele din urmă, pentru acest model, avem doar o expresie complexă a covarianței.