Linia rombului

O linie romb (din grecesc lox (o) - și - dromie course ( δρόμος) oblică ( λοξός), în engleză rumb line ), este o curbă care intersectează meridianele unei sfere la un unghi constant. Este calea urmată de o navă care urmează o direcție constantă.

O linie romb este reprezentată pe o diagramă națională sau aeronautică de proiecție Mercator ca o linie dreaptă, dar nu reprezintă distanța cea mai mică între două puncte. Într-adevăr, cel mai scurt traseu, numit traseu circular sau cerc mare este un cerc mare al sferei.

Linia rombului este o traiectorie cu un curs adevărat constant. Își datorează numele topografului portughez Pedro Nunes , primul care îl distinge de un cerc (aprox. 1537 ).

Navigare loxodromică

Problema pusă este aceea de a determina cursul și linia rombului între două puncte. Aceasta este, prin urmare, problema inversă a calculului mort .

Ulterior, observăm

• Rv{\ displaystyle R_ {vb}}calea adevărată (termen utilizat în domeniul aeronautic, denumit traseu la sol ,, în domeniul maritim);Rf{\ displaystyle R_ {f} \,}
• M{\ displaystyle M \,}distanța parcursă până la drum  ;Rv{\ displaystyle R_ {vb}}
• φLA,GLA{\ displaystyle \ varphi _ {A}, G_ {A} \,}și coordonatele geografice (latitudine, longitudine) ale punctelor A și B;φB,GB{\ displaystyle \ varphi _ {B}, G_ {B} \,}
• φm=φLA+φB2{\ displaystyle \ varphi _ {m} = {\ frac {\ varphi _ {A} + \ varphi _ {B}} {2}} \,} latitudinea mijlocie;

Unitățile, dacă este necesar, vor fi indicate printr-un indicativ între paranteze pătrate: pentru nautică , pentru radian, pentru minut de arc . [nuq]{\ displaystyle ^ {[nq]}}[rlad]{\ displaystyle ^ {[rad]}}[,]{\ displaystyle ^ {[,]}}

Valoarea distanței în funcție de drumul adevărat este exprimată prin egalitate

M[nuq]=φB[,]-φLA[,]cos⁡Rv{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ varphi _ {B} \, ^ {[,]} - \ varphi _ {A} \, ^ {[,]}} {\ cos R_ { v}}} \,}

Pentru evaluarea traseului adevărat, se poate utiliza o valoare aproximativă sau o valoare exactă.

• Dacă cele două puncte A și B nu sunt foarte îndepărtate, putem fi mulțumiți cu formula aproximativă folosind latitudinea medie

bronzat⁡Rv=GB-GLAφB-φLAcos⁡φm{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}}} \ cos \ varphi _ {m} \, } această formulă apare din confuzia dintre distanțele de pe sferă și distanțele de pe hartă. Se aplică punctelor la distanță redusă (mai puțin de 300 de mile marine) și la latitudini îndepărtate de poli (latitudini mai mici de 60 °).

• Formula exactă ( creșterea latitudinilor proiecției Mercator):

bronzat⁡Rv=GB-GLAλB-λLA{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}}} \,} λ{\ displaystyle \ lambda \,}se numește latitudine crescătoare și este egală, în radiani: λ=ln⁡bronzat⁡(π4+φ[rlad]2){\ displaystyle \ lambda = \ ln \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi ^ {[rad]}} {2}} \ right) \,}care este funcția Gudermann inversă.

Formulele nu sunt potrivite pentru aproape 90 ° și 270 °, deoarece ar conduce la o împărțire cu un număr aproape de zero. În aceste cazuri, în calculele nautice se așteaptă utilizarea sinusului pentru a calcula distanța. De îndată ce cursul se topește cu sfert este mai mare de 89 °, se folosește următoarea formulă aproximativă: Rv{\ displaystyle R_ {vb}} Rfq{\ displaystyle Rf_ {q}}

M[nuq]=|GB[,]-GLA[,]|cos⁡φmpăcat⁡Rfq{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ left | G_ {B} \, ^ {[,]} - G_ {A} \, ^ {[,]} \ right | \ cos \ varphi _ {m}} {\ sin Rf_ {q}}}}

• Loxodrom pol la pol

• Loxodromia văzută din ecuator

• Loxodromia văzută din polul nord

Studiul matematic

Pe globul terestru, liniile rombului corespund (atunci când acestea nu sunt „degenerate”, adică atunci când unghiul inițial dat nu este zero) spiralelor care se înfășoară în jurul polului (polul Nord dacă unghiul inițial este în interior și deplasarea este în direcția creșterii latitudinilor ). În vecinătatea polului, aceste spirale sunt aproximativ plane, tangente formând un unghi fix cu vectorul de rază, care este o proprietate caracteristică a unei spirale logaritmice . ]0,π[{\ displaystyle] 0, \ pi [}

Mai exact, dorim să determinăm o ecuație a liniei rombului și să calculăm lungimea L parcursă de la ecuator la pol în funcție de cursul adevărat (adică unghiul dintre direcția urmată și nordul geografic); longitudinea fiind remarcat și latitudinea , prin urmare , este o chestiune de determinare a funcției . Calculul dă în cele din urmă și . Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ in \,] 0, \ pi / 2 [}G{\ displaystyle G} φ{\ displaystyle \ varphi}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}φ(G)=2arctan⁡(exp⁡(Gbronzat⁡(Rv)))-π/2{\ displaystyle \ varphi (G) = 2 \ arctan (\ exp ({G \ over \ tan (R_ {v})})) - \ pi / 2}L=π2cos⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ over 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Calcul detaliat

Loxodromia este un arc pe sferă care se presupune definit de o clasă de funcții  : și orientat în direcția longitudinilor în creștere. Fie funcția care, cu longitudine , asociază punctul curent al liniei romb de longitudine și latitudine . VS1{\ displaystyle C ^ {1}}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}f:G↦M(G,φ(G)){\ displaystyle f: G \ mapsto M (G, \ varphi (G))}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

Un vector tangent la linia romb este atunci . Acest vector, care direcționează tangenta la arc, formează, prin urmare, prin ipoteză, un unghi cu orice vector (diferit de zero) care direcționează meridianul în punctul considerat. Un vector care direcționează meridianul în est , în timp ce un vector care direcționează paralela este . f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)⋅∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) \ cdot {\ partial {\ vec { M}} \ over \ partial \ varphi} (G, \ varphi (G))}Rv{\ displaystyle R_ {vb}}M(G,φ(G)){\ displaystyle M (G, \ varphi (G))}∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} (G, \ varphi (G))}∂M→∂G(G,φ(G)){\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} (G, \ varphi (G))}

În cele ce urmează, pentru a simplifica scrierea, nu se va mai specifica punctul în care sunt luate funcțiile și derivatele lor parțiale și se va nota în loc de și derivata lui cu privire la . (G,φ(G)){\ displaystyle (G, \ varphi (G))}φ{\ displaystyle \ varphi}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}φ′{\ displaystyle \ varphi '}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}G{\ displaystyle G}

Prin efectuarea produsului scalar al unui vector director al tangentei la linia rombului și al unui vector direcționant al meridianului, obținem produsul normelor acestor vectori prin cosinusul unghiului pe care îl formează. Acest unghi este exact adevăratul titlu atunci când  : Rv{\ displaystyle R_ {vb}}0<Rv<π{\ displaystyle 0 <R_ {v} <\ pi}

(∂M→∂φ|∂M→∂G+φ′∂M→∂φ)=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ left ({\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \; {\ Bigg |} \; {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right) = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \, \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \ cos (R_ { v})}, Ceea ce denotă produsul scalar ca .(tu→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} \; | \; {\ vec {v}})}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

Deoarece paralelele și meridianele sunt perpendiculare, vectorii și sunt ortogonali, iar expresia anterioară simplifică: ∂M→∂φ{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi}}∂M→∂G{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G}}

φ′‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2} = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \, \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \ cos (R_ {v})}

apoi în :

φ′‖∂M→∂φ‖=‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \ cos (R_ {v})}

Prin pătrat și folosind teorema lui Pitagora, obținem:

φ′2‖∂M→∂φ‖2=(‖∂M→∂G‖2+φ′2‖∂M→∂φ‖2)cos2⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2} = \ left (\ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} \ right \ | ^ {2} + \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

De unde, cu 1-cos2⁡(Rv)=păcat2⁡(Rv){\ displaystyle 1- \ cos ^ {2} (R_ {v}) = \ sin ^ {2} (R_ {v})}

păcat2⁡(Rv)φ′2‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂G‖2cos2⁡(Rv)(1){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2 } = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} \ right \ | ^ {2} \ cos ^ {2} (R_ {v}) \ qquad \ mathbf {(1) }}.

Calculăm cele două norme implicate în această ecuație:

Se știe, conform configurației sferice raportate coordonatelor carteziene din bază , este îndreptat de-a lungul axei Pământului, unde este vectorul radial unitar al planului ecuatorial definit de . Este definit ca vector derivat în raport de  : . Deci și . Astfel, și . (eu→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}OM→(G,φ)=păcat⁡(φ)k→+cos⁡(φ)tu→G{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} (G, \ varphi) = \ sin (\ varphi) \; {\ vec {k}} + \ cos (\ varphi) \; {\ vec {u}} _ { G}}tu→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}tu→G=cos⁡(G)eu→+păcat⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G} = \ cos (G) \; {\ vec {i}} + \ sin (G) \; {\ vec {j}}}v→G{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {G}}G{\ displaystyle G}tu→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}v→G=dtu→GdG=-păcat⁡(G)eu→+cos⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {G} = {d {\ vec {u}} _ {G} \ over dG} = - \ sin (G) \; {\ vec {i}} + \ cos (G) \; {\ vec {j}}}∂M→∂G=cos⁡(φ)v→G{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {v}} _ {G}}∂M→∂φ=cos⁡(φ)k→-păcat⁡(φ)tu→G{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {k}} - \ sin (\ varphi) {\ vec {u}} _ {G}}‖∂M→∂G‖=cos⁡(φ){\ displaystyle \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} \ right \ | = \ cos (\ varphi)}‖∂M→∂φ‖=1{\ displaystyle \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | = 1}

Ecuația se reduce la: (1){\ displaystyle \ mathbf {(1)}}

păcat2⁡(Rv)φ′2=cos2⁡(φ)cos2⁡(Rv){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Dacă presupunem că pornim de la ecuator ( ) la longitudine și mergem spre nord-est, atunci și este o funcție crescândă de aceea (în celelalte cazuri, deducem arcul printr-o simetrie centrală și / sau o rotație (e) adecvată (e), deci nu pierdem generalitatea), ca urmare: φ=0{\ displaystyle \ varphi = 0}G=0{\ displaystyle G = 0}Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ in \,] 0, \ pi / 2 [}φ{\ displaystyle \ varphi}G{\ displaystyle G}φ′>0{\ displaystyle \ varphi '> 0}

păcat⁡(Rv)φ′=cos⁡(φ)cos⁡(Rv){\ displaystyle \ sin (R_ {v}) \ varphi '= \ cos (\ varphi) \ cos (R_ {v})} și , ecuație diferențială neliniară cu variabile separabile în1cos⁡(φ)dφdG=1bronzat⁡(Rv){\ displaystyle {1 \ over \ cos (\ varphi)} {d \ varphi \ over dG} = {1 \ over \ tan (R_ {v})}}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

Prin integrarea între 0 și  : G{\ displaystyle G}

∫0φ(G)dφcos⁡(φ)=1bronzat⁡(Rv)∫0GdG{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ varphi (G)} {d \ varphi \ over \ cos (\ varphi)} = {1 \ over \ tan (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {G} dG}, fie (cf. Primitive ale funcțiilor trigonometrice ) ln⁡(bronzat⁡(π4+φ(G)2))=Gbronzat⁡(Rv){\ displaystyle \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi (G)} {2}} \ right) \ right) = {G \ over \ tan (R_ {v})}}

Lungimea L parcursă merită, prin definiție:

L=∫0+∞‖f′(G)‖dG{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ | f '(G) \ | \, dG} unde și și pentru același semn de motive .f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) {\ partial {\ vec {M} } \ over \ partial \ varphi} (G, \ varphi (G))}‖f′(G)‖2=cos2⁡(φ)+φ′2=cos2⁡(φ)+cos2⁡(φ)bronzat2⁡(Rv)=cos2⁡(φ)păcat2⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + \ varphi' ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ tan ^ {2} (R_ {v})} = {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ sin ^ {2} (R_ {v})} }‖f′(G)‖=cos⁡(φ)păcat⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | = {\ cos (\ varphi) \ over \ sin (R_ {v})}} L=1păcat⁡(Rv)∫0+∞cos⁡(φ(G))dG{\ displaystyle L = {1 \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ cos (\ varphi (G)) \, dG}

Prin schimbarea variabila, cu latitudinea de la 0 la atunci când variază de la 0 la  : dGdφ=bronzat⁡(Rv)cos⁡(φ){\ displaystyle {dG \ over d \ varphi} = {\ tan (R_ {v}) \ over \ cos (\ varphi)}}φ{\ displaystyle \ varphi}π2{\ displaystyle \ pi \ over 2}G{\ displaystyle G}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Avem L=bronzat⁡(Rv)păcat⁡(Rv)∫0π2dφ=1cos⁡(Rv)∫0π2dφ{\ displaystyle L = {\ tan (R_ {v}) \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi} L=π2cos⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ over 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Este ușor să verificați rezultatul luând nul. Vedem că arcul traversat este meridianul și lungimea acestuia este egală cu un sfert din circumferință. Rv{\ displaystyle R_ {vb}}

Același calcul efectuat între două puncte A și B situate pe linia rombului va da ca lungime:

M=1cos⁡(Rv)∫φLAφBdφ=φB-φLAcos⁡(Rv){\ displaystyle M = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {\ varphi _ {A}} ^ {\ varphi _ {B}} \, d \ varphi = {\ frac {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}} {\ cos (R_ {v})}}}

Note și referințe

1. Un „cerc mare” al unei sfere este intersecția sferei cu un plan care trece prin centrul sferei, cum ar fi Ecuatorul și toate meridianele.
2. Stevin și Harriot l-au studiat (c. 1580 ): este unul dintre primele cazuri cunoscute de „integrare dificilă”
3. LOxodromie , p.5-6, pe site-ul școlii naționale a marinei comerciale din Marsilia
4. Robert Rolland „UNELE PROBLEME MATEMATICE LEGATE DE NAVIGAȚIE (VERSIUNEA 7)” (pagina 26)
5. LOxodromie , p.8; 10, pe site-ul școlii naționale a marinei comerciale din Marsilia
6. Robert Rolland „UNELE PROBLEME MATEMATICE LEGATE DE NAVIGAȚIE (VERSIUNEA 7)” (pagina 19)

Vezi și tu

Articole similare

• Geodezică
• Linia rombului
• Calculul mort
• Ortodromie
• Traseu (navigare)

linkuri externe

• (fr) „Câteva probleme matematice legate de navigație”
• (fr) „Software pentru calcularea distanțelor (romb și cerc mare) și direcție”

Bibliografie

• Raymond d'Hollander, proiecția Loxodromy și Mercator , Institutul Oceanografic,2005, 239  p. ( ISBN  978-2-903581-31-2 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">