Distribuție lognormală

Legea log-normală
Densitatea probabilității μ = 0
Funcția de distribuție μ = 0
Setări	σ>0{\ displaystyle \ sigma> 0} -∞<μ<∞{\ displaystyle - \ infty <\ mu <\ infty}
A sustine	]0;+∞[{\ displaystyle] 0; + \ infty [\!}
Probabilitate densitate	1Xσ2πexp⁡(-[ln⁡(X)-μ]22σ2){\ displaystyle {\ frac {1} {x \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ left [\ ln (x) - \ mu \ right] ^ { 2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)}
Funcția de distribuție	12+12erf[ln⁡(X)-μσ2]{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {erf} \ left [{\ frac {\ ln (x) - \ mu} {\ sigma {\ sqrt {2}}}} \ dreapta]}
Speranţă	eμ+σ2/2{\ displaystyle e ^ {\ mu + \ sigma ^ {2} / 2}}
Median	eμ{\ displaystyle e ^ {\ mu}}
Modă	eμ-σ2{\ displaystyle e ^ {\ mu - \ sigma ^ {2}}}
Varianța	(eσ2-1)e2μ+σ2{\ displaystyle (e ^ {\ sigma ^ {2}} \! \! - 1) e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}}}
Asimetrie	(eσ2+2)eσ2-1{\ displaystyle (e ^ {\ sigma ^ {2}} \! \! + 2) {\ sqrt {e ^ {\ sigma ^ {2}} \! \! - 1}}}
Curtoză normalizată	e4σ2+2e3σ2+3e2σ2-6{\ displaystyle e ^ {4 \ sigma ^ {2}} \! \! + 2e ^ {3 \ sigma ^ {2}} \! \! + 3e ^ {2 \ sigma ^ {2}} \! \! -6}
Entropie	12+12ln⁡(2πσ2)+μ{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi \ sigma ^ {2}) + \ mu}

În teoria probabilității și statisticile , se spune că o variabilă aleatorie X urmează o distribuție lognormală a parametrilor și dacă variabila urmează o distribuție normală a așteptării și varianței . μ{\ displaystyle \ mu}σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}Da=ln⁡(X){\ displaystyle Y = \ ln (X)}μ{\ displaystyle \ mu}σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}

Această lege este uneori numită legea lui Galton . Se observă de obicei în cazul unei singure variabile sau într-un context multidimensional. Log-NU⁡(μ,σ2){\ displaystyle \ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} (\ mu, \, \ sigma ^ {2})}Log-NU⁡(μ,Σ){\ displaystyle \ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} (\ mu, \, \ Sigma)}

O variabilă poate fi modelată printr-o distribuție lognormală dacă este rezultatul multiplicării unui număr mare de factori independenți mici.

Caracterizare

Densitate

Distribuția lognormală a parametrilor și admite densitatea probabilitățiiμ{\ displaystyle \ mu}σ{\ displaystyle \ sigma}

fDa(X;μ,σ)=1Xσ2πexp⁡(-(ln⁡X-μ)22σ2)=1XfX(ln⁡(X);μ,σ){\ displaystyle f_ {Y} (x; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {x \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} exp \ left (- {\ frac {(\ ln x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {x}} f_ {X} (\ ln (x); \ mu, \ sigma)}

pentru . Parametrii și sunt așteptarea și abaterea standard a logaritmului variabilei (deoarece, prin definiție, logaritmul variabilei este distribuit conform unei legi normale a așteptării și abaterii standard ). X>0{\ displaystyle x> 0}μ{\ displaystyle \ mu}σ{\ displaystyle \ sigma}μ{\ displaystyle \ mu}σ{\ displaystyle \ sigma}

Funcția de distribuție

Prin integrarea funcției de densitate, rezultă că funcția de distribuție este exprimată ca o funcție a funcției de eroare erf  :

FX(X;μ,σ)=12+12erf[ln⁡(X)-μσ2]=FDa(ln⁡(X);μ,σ).{\ displaystyle F_ {X} (x; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {erf} \ left [{\ frac { \ ln (x) - \ mu} {\ sigma {\ sqrt {2}}}} \ right] = F_ {Y} (\ ln (x); \ mu, \ sigma).}

Momente

Toate momentele există și sunt date de:

μk=ekμ+k2σ2/2.{\ displaystyle \ mu _ {k} = e ^ {k \ mu + k ^ {2} \ sigma ^ {2} / 2}.}

Așteptarea și abaterea standard

Speranță este

E(X)=eμ+σ2/2{\ displaystyle \ mathrm {E} (X) = e ^ {\ mu + \ sigma ^ {2} / 2}}

iar varianța este

Vlar(X)=(eσ2-1)e2μ+σ2.{\ displaystyle \ mathrm {Var} (X) = (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1) e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}}. \,}

Relațiile echivalente fac posibilă obținerea și având în vedere așteptarea și abaterea standard: μ{\ displaystyle \ mu}σ{\ displaystyle \ sigma}

{μ=ln⁡(E(X))-12σ2σ2=ln⁡(1+Vlar(X)(E(X))2){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} \ mu & = \ ln (\ mathrm {E} (X)) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \\\ sigma ^ {2} & = \ ln \ left (1 + {\ frac {\ mathrm {Var} (X)} {(\ mathrm {E} (X)) ^ {2}}} \ right) \ end {align }} \ dreapta.}

Alte relații

VSov(X,Da)=E(X)σ2(Da){\ displaystyle \ mathrm {Cov} (X, Y) = \ mathrm {E} (X) \, \ sigma ^ {2} (Y)} VSov(X,Z)=E(X)VSov(Da,Z){\ displaystyle \ mathrm {Cov} (X, Z) = \ mathrm {E} (X) \, \ mathrm {Cov} (Y, Z)} VSor(X,Z)=VSor(Da,Z)σ(Da)(eσ2(Da)-1)-1/2{\ displaystyle \ mathrm {Cor} (X, Z) = \ mathrm {Cor} (Y, Z) \, \ sigma (Y) \, (e ^ {\ sigma ^ {2} (Y)} - 1) ^ {- 1/2}}

unde este orice variabilă de varianță normală . Z{\ displaystyle Z}σ2(Z){\ displaystyle \ sigma ^ {2} (Z)}

Pentru două variabile lognormale, relațiile sunt prezentate în contextul multidimensional de mai jos.

Comportamentul de densitate

Este suficient să se obțină densitatea din distribuția lognormală pentru a verifica următoarele rezultate:

• La x = 0, singularitatea densității este evidentă doar pentru că satisface

limX→0+fX(X;μ,σ)=0.{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0+} f_ {X} (x; \ mu, \ sigma) = 0.} Funcția poate fi astfel extinsă la 0 continuu atribuindu-i valoarea 0. Când valoarea modului este foarte mică ( și ca în cartușul de mai sus), graficul densității pare să divergă la 0, ceea ce formal nu este cazul.μ=0{\ displaystyle \ mu = 0 \,}σ=10{\ displaystyle \ sigma = 10 \,}

• După cum este indicat de modul său , densitatea admite un maxim în care atinge valoarea saXm=exp⁡(μ-σ2){\ displaystyle x_ {m} = \ exp (\ mu - \ sigma ^ {2})}

fX(Xm;μ,σ)=1σ2πexp⁡(σ22-μ).{\ displaystyle f_ {X} (x_ {m}; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ exp \ left ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} - \ mu \ right).}

Distribuție lognormală multidimensională

Se spune că un vector aleatoriu urmărește o distribuție lognormală multidimensională a parametrilor și dacă vectorul (componentă cu componentă) urmează o distribuție normală multidimensională a cărei vector de așteptare este și matricea de covarianță este . X{\ displaystyle {\ boldsymbol {X}}}μ∈RNU{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} \ in \ mathbb {R} ^ {N}}Σ∈MNU(R){\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} \ in {\ mathcal {M}} _ {N} (\ mathbb {R})}Da=ln⁡(X){\ displaystyle {\ boldsymbol {Y}} = \ ln ({\ boldsymbol {X}})}μ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}}}Σ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}

Această lege este de obicei remarcată . Log-NU⁡(μ,Σ){\ displaystyle \ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} ({\ boldsymbol {\ mu}}, \, {\ boldsymbol {\ Sigma}})}

Densitatea probabilității și funcția de distribuție sunt următoarele:

fX,μ,Σ(X)=1∏eu=1NUXeufDa,μ,Σ(ln⁡(X)){\ displaystyle f _ {{\ boldsymbol {X}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = {\ frac { 1} {\ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}}} \; f _ {{\ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma} }} \ left (\ ln ({\ boldsymbol {x}}) \ right)} unde este densitatea .fDa,μ,Σ(){\ displaystyle f _ {{\ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} ()}Da{\ displaystyle {\ boldsymbol {Y}}} FX,μ,Σ(X)=FDa,μ,Σ(ln⁡(X)){\ displaystyle F _ {{\ boldsymbol {X}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = F _ {{ \ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ left (\ ln ({\ boldsymbol {x}}) \ right)} unde este funcția de distribuție a .FDa,μ,Σ(){\ displaystyle F _ {{\ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} ()}Da{\ displaystyle {\ boldsymbol {Y}}}

Așteptările și covarianța sunt date de relații (valabile și în cazul degenerat):

E⁡([X]eu)=eμeu+12Σeueu,{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) = e ^ {{\ boldsymbol {\ mu}} _ {i} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ii}},}Cov⁡([X]eu,[X]j)=E⁡([X]eu)E⁡([X]j)(eΣeuj-1).{\ displaystyle \ operatorname {Cov} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i}, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) = \ operatorname {E} \ left ( [{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) \; (e ^ {{\ boldsymbol { \ Sigma}} _ {ij}} - 1).} Elemente de justificare

O evaluare a densității de se poate baza pe definiția informală a densității , prin exploatarea celei de (distribuție normală multidimensională) după efectuarea modificării variabilei X{\ displaystyle {\ boldsymbol {X}}}Da{\ displaystyle {\ boldsymbol {Y}}}

[X]eu=exp⁡([Da]eu).{\ displaystyle [{\ boldsymbol {X}}] _ {i} = \ exp {\ left ([{\ boldsymbol {Y}}] _ {i} \ right)}.}

Expresiile legate de așteptare și covarianță sunt deduse din funcția generator a momentelor distribuției normale multidimensionale, și anume

MDa(t)=exp⁡(μ⊤t+12t⊤Σt).{\ displaystyle M _ {\ boldsymbol {Y}} ({\ boldsymbol {t}}) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} ^ {\ top} {\ boldsymbol {t}} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {t}} ^ {\ top} {\ boldsymbol {\ Sigma}} {\ boldsymbol {t}} \ right).}

Folosind aceeași schimbare de variabilă, obținem respectiv

• cu ( simbol Kronecker ):tk=δeuk{\ displaystyle t_ {k} = \ delta _ {ik}}E⁡([X]eu)=exp⁡(μeu+12Σeueu){\ displaystyle \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} _ {i} + {\ frac { 1} {2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ii} \ right)}
• cu  :tk=δeuk+δjk{\ displaystyle t_ {k} = \ delta _ {ik} + \ delta _ {jk}}E⁡([X]eu[X]j)=exp⁡(μeu+μj+12Σeueu+12Σjj+Σeuj).{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} _ {i} + {\ boldsymbol {\ mu}} _ {j} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ii} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {jj} + {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij} \ right).}Concluzia rezultă din Cov⁡([X]eu,[X]j)=E⁡([X]eu[X]j)-E⁡([X]eu)E⁡([X]j).{\ displaystyle \ operatorname {Cov} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i}, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) = \ operatorname {E} \ left ( [{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) - \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right).}

Note  :

• Atenție: termenul generic matrice nu are nimic de-a face cu exponențialul matriceieΣeuj{\ displaystyle e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij}}} Σ.{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}.}
• Σ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}poate fi singular (caz degenerat) fără a implica neapărat că este. Exemplu:VS{\ displaystyle C}Σ=(1-0,50,5-0,510,50,50,51).{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -0.5 & 0.5 \\ - 0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 1 \\\ end {pmatrix}}.}
• La orice matrice semidefinită pozitivă , putem asocia un vector normal al cărui covarianță este. Pe de altă parte, nu există neapărat un vector log-normal al căruia este covarianța. Într-adevăr, cu relația , orice matrice semidefinită pozitivă duce la o matrice semidefinită pozitivă , dar inversul nu este în general adevărat. Un contraexemplu în care este pozitiv definit în timp ce nu este:VSeuj=eΣeuj-1{\ displaystyle C_ {ij} = e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij}} - 1}Σ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}Σ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}VS=(1-0,50,9-0,51-0,50,9-0,51).{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} 1 & -0.5 & 0.9 \\ - 0.5 & 1 & -0.5 \\ 0.9 & -0.5 & 1 \\\ end {pmatrix}}.}

Pozitivitatea covarianței

Deoarece relațiile care caracterizează așteptările și covarianțele pot fi deduse din funcția care generează momentele legii normale multidimensionale, matricea de covarianță trebuie să fie în mod natural semidefinită pozitivă . Acest rezultat este prezentat aici direct.

Deoarece așteptările sunt strict pozitive, este semi-definit pozitiv dacă și numai dacă este: este suficient să se ia în considerare doar această ultimă matrice. Deoarece pozitivitatea lui este singura proprietate care este exploatată, vom observa această matrice care nu se mai referă la o covarianță. E⁡([X]eu){\ displaystyle \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right)}Cov⁡([X]eu,[X]j){\ displaystyle \ operatorname {Cov} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i}, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right)}eΣeuj-1{\ displaystyle e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij}} - 1}Σ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}LA{\ displaystyle A}

Lemă  -  Fie o matrice semidefinită pozitivă și un număr întreg pozitiv. Deci matricea definită de este de asemenea. LA{\ displaystyle A}p{\ displaystyle p}LA(p){\ displaystyle A ^ {(p)}}(LA(p))euj=(LAeuj)p{\ displaystyle (A ^ {(p)}) _ {ij} = (A_ {ij}) ^ {p}}

Propunerea 1  -  Dacă este semidefinit pozitiv, la fel este și el. LA{\ displaystyle A}VSeuj=eLAeuj-1{\ displaystyle C_ {ij} = e ^ {A_ {ij}} - 1 \,}

Rezultatele referitoare la spectrul de indicare limite pentru sale valori proprii  : VS{\ displaystyle C}

Propoziția 2  -  Să semidefinit pozitiv și să se noteze LA{\ displaystyle A}

• 0≤d-≤d+{\ displaystyle 0 \ leq d _ {-} \ leq d _ {+}}valorile extreme ale coeficienților diagonali ,LAeueu{\ displaystyle A_ {ii}}
• 0≤λ-≤λ+{\ displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {-} \ leq \ lambda _ {+}}valorile proprii extreme ale ,LA{\ displaystyle A}
• 0≤λ-(p)≤λ+(p){\ displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {-} ^ {(p)} \ leq \ lambda _ {+} ^ {(p)}}valorile proprii extreme ale ,LA(p){\ displaystyle A ^ {(p)}}
• 0≤μ-≤μ+{\ displaystyle 0 \ leq \ mu _ {-} \ leq \ mu _ {+}} valorile proprii extreme ale VSeuj=eLAeuj-1.{\ displaystyle C_ {ij} = e ^ {A_ {ij}} - 1.}

Asa de

1. λ-(p)d-≤λ-(p+1)≤λ+(p+1)≤λ+(p)d+,{\ displaystyle \ lambda _ {-} ^ {(p)} \, d _ {-} \ leq \ lambda _ {-} ^ {(p + 1)} \ leq \ lambda _ {+} ^ {(p + 1)} \ leq \ lambda _ {+} ^ {(p)} \, d _ {+},}
2. λ-ed-≤μ-≤μ+≤λ+ed+.{\ displaystyle \ lambda _ {-} \, e ^ {d _ {-}} \ leq \ mu _ {-} \ leq \ mu _ {+} \ leq \ lambda _ {+} \, e ^ {d_ {+}}.}

Dovezi

Dovada Lemei:

Deoarece este diagonalizabil , se poate scrie sub forma unde este o matrice ortogonală (ale cărei coloane sunt vectorii proprii ai ) și unde este o matrice diagonală ai cărei coeficienți sunt exact valorile proprii ale . LA{\ displaystyle A}LA=ODOT{\ displaystyle A = ODO ^ {T}}O{\ displaystyle O}LA{\ displaystyle A}D{\ displaystyle D}LA{\ displaystyle A}

Să presupunem prin inducție , care este pozitiv. Pentru orice vector , putem scrie p{\ displaystyle p}LA(p){\ displaystyle A ^ {(p)}}X{\ displaystyle x}

XTLA(p+1)X=∑euj(LAeuj)p+1XeuXj=∑euj(LAeuj)pLAeujXeuXj=∑eujk(LAeuj)p(OeukDkOjk)XeuXj={\ displaystyle x ^ {T} A ^ {(p + 1)} x = \ sum _ {ij} (A_ {ij}) ^ {p + 1} x_ {i} x_ {j} = \ sum _ { ij} (A_ {ij}) ^ {p} A_ {ij} \, x_ {i} x_ {j} = \ sum _ {ijk} (A_ {ij}) ^ {p} \, (O_ {ik} D_ {k} O_ {jk}) \, x_ {i} x_ {j} =} =∑kDk∑euj(LAeuj)p(OeukXeu)(OjkXj)=∑kDk(y(k))TLA(p)y(k)≥0{\ displaystyle = \ sum _ {k} D_ {k} \ sum _ {ij} (A_ {ij}) ^ {p} \, (O_ {ik} x_ {i}) \, (O_ {jk} x_ {j}) = \ sum _ {k} \, D_ {k} \, (y ^ {(k)}) ^ {T} \, A ^ {(p)} \, y ^ {(k)} \ geq 0}

unde este un vector definit dey(k){\ displaystyle y ^ {(k)}}yeu(k)=OeukXeu.{\ displaystyle y_ {i} ^ {(k)} = O_ {ik} \, x_ {i}.}

Inegalitatea rezultă din pozitivitatea (implicarea ) și cea a ipotezei prin inducție. LA{\ displaystyle A}Dk≥0{\ displaystyle D_ {k} \ geq 0}LA(p){\ displaystyle A ^ {(p)}}

Această inegalitate arată că pozitivitatea se păstrează pas cu pas.

Dovada propunerii 1:

Este suficient să observăm că este o sumă de matrici semi-definite pozitive prin relație VS{\ displaystyle C}

VS=∑p≥11p!LA(p).{\ displaystyle C = \ sum _ {p \ geq 1} {\ frac {1} {p!}} A ^ {(p)}.}

Dovada propunerii 2:

Pornind din nou de la egalitatea Lemei unde este un vector propriu al normei 1 pentru cea mai mică valoare proprie , tragem X{\ displaystyle x}LA(p){\ displaystyle A ^ {(p)}}λ-(p+1){\ displaystyle \ lambda _ {-} ^ {(p + 1)}}

λ-(p+1)=∑kDk(y(k))TLA(p)y(k)≥λ-(p)∑kDk‖y(k)‖2=λ-(p)∑euLAeueu(Xeu)2≥λ-(p)d-.{\ displaystyle \ lambda _ {-} ^ {(p + 1)} = \ sum _ {k} \, D_ {k} \, (y ^ {(k)}) ^ {T} \, A ^ { (p)} \, y ^ {(k)} \ geq \ lambda _ {-} ^ {(p)} \ sum _ {k} \, D_ {k} \, \ left \ | y ^ {(k )} \ right \ | ^ {2} = \ lambda _ {-} ^ {(p)} \ sum _ {i} \, A_ {ii} \, (x_ {i}) ^ {2} \ geq \ lambda _ {-} ^ {(p)} \, d _ {-}.}

Același proces fiind aplicat , deducem punctul 1. λ+(p+1){\ displaystyle \ lambda _ {+} ^ {(p + 1)}}

În sfârșit, este suficient să luăm din nou dezvoltarea celor indicate în dovada propunerii 1 pentru a arăta punctul 2. VS{\ displaystyle C}

Notă: având în vedere reducerile brutale (în special cele ale celei de-a doua inegalități), limitele obținute nu sunt optime .

Legea lui Gibrat

Numită istoric legea efectului proporțional , apoi uneori legea log-normală cu 3 parametri , această lege este o generalizare a legii log-normale obținută prin adăugarea unei traduceri simple prin setare

Da=ln⁡(X-X0){\ displaystyle Y = \ ln (X-X_ {0})}.

Este remarcat și privește numai valorile. Utilizarea acestuia trebuie limitată la situații în care această limită inferioară are un sens fizic și a cărei valoare este cunoscută. Log-NU⁡(X0,μ,σ2){\ displaystyle \ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} (X_ {0}, \, \ mu, \, \ sigma ^ {2})}X>X0.{\ displaystyle X> X_ {0}.}

Domenii de aplicare

Piețele financiare

Distribuția logaritmică normală este adesea utilizată în analiza cantitativă pentru a reprezenta cursul a instrumentelor financiare (inclusiv stocuri , ratele de schimb , ratele dobânzilor ). Cu legea multidimensională, este posibil să se prevadă modele susceptibile să ia în considerare diferite valori mobiliare și corelațiile acestora , ceea ce face posibilă înțelegerea și cuantificarea riscurilor unui portofoliu .

Deoarece prețurile nu sunt negative, este relevant să se exprime variațiile lor în formă relativă (în procente) și, ca primă aproximare, prețurile sunt descrise printr-o distribuție log-normală.

Pe de altă parte, un motiv mai profund constă în estimarea volatilității prețului unei acțiuni, care poate fi definită prin deviația standard a randamentului  :

Dacă prețul unei cotații merge de la P1 la P2 într-o perioadă de o zi, randamentul zilnic este r = P2 / P1 -1 și, la acest ritm, expresia continuă a randamentului anual satisfăcut R ( T = 365 zile) : eR=(1+r)T=(P2/P1)T,eueR=T[ln⁡(P2)-ln⁡(P1)].{\ displaystyle e ^ {R} = (1 + r) ^ {T} = (P_ {2} / P_ {1}) ^ {T}, \; ie \; R = T \, [\ ln (P_ {2}) - \ ln (P_ {1})].}

Vedem apoi legătura dintre volatilitate și variabila aleatorie care afectează logaritmul prețului. σ(R){\ displaystyle \ sigma (R)}

Alte domenii

• Numărul de cuvinte dintr-o propoziție poate fi modelat printr-o distribuție lognormală.
• Distribuția veniturilor în populație poate fi, de asemenea, aproximată printr-o distribuție lognormală.
• În biologie , poate fi folosit pentru a modela greutatea organismelor vii.
• În hidrologie , debitele lunare ale bazinelor hidrografice mici cu regimuri de precipitații .
• În genomică , s-a observat că ratele mutațiilor variază de-a lungul cromozomilor și distribuția lor poate fi aproximată printr-o distribuție lognormală.
• În mecanica fluidelor, legea log-normal oferă o bună aproximare a funcției de distribuție a dimensiunii picăturilor la ieșirea unui aerosol sau a unui jet de pulverizare.

Note și referințe

1. Bernard Delmas, Statistici descriptive , Paris, Nathan, 1996, p.  143 .
2. Stéphane Tufféry, Data mining și statistici decizionale: date intelligence , p.  347 pe Google Cărți .

Articole similare

• Probabilitate
• Legea normală
• Legea normală multidimensională

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">