Grup ciclic

În matematică și mai precis în grupul teoretic , o grupare ciclică este o grupare care este atât finit și monogeneous , adică să spunem că există un element de un al grupului , astfel încât orice element al grupului poate s'exprimă ca un multiplu de a (în notație aditivă, sau ca putere în notație multiplicativă); acest element a se numește generatorul grupului.

Există, până la izomorfism , pentru orice număr întreg n > 0, doar un singur grup ciclic de ordinul n : grupul coeficient ℤ / n ℤ - notat și ℤ n sau C n - din ℤ de multiplii subgrupului lui n .

Grupurile ciclice sunt importante în algebră . Ele se găsesc, de exemplu, în teoria inelului și în teoria lui Galois .

Aplicații

Geometrie

Teoria grupului

Grupurile monogene sunt importante pentru studiul grupurilor abeliene de tip finit : toate sunt produse directe ale grupurilor monogene (dintre care unele pot fi monogene infinite, adică izomorfe până la ℤ). În special, grupurile abeliene finite sunt clasificate după teorema lui Kronecker . În cazul grupurilor finite non- abeliene , teorema lui Cauchy arată existența multor subgrupuri ciclice. Această teoremă este utilizată pentru clasificarea grupurilor finite, deși adesea se folosesc unele forme mai elaborate, cum ar fi cele trei teoreme ale lui Sylow .

Aritmetic

În aritmetică, aceste grupuri oferă un repertoriu larg de instrumente și permit numeroase demonstrații. Aceste instrumente sunt grupate împreună într-o ramură a matematicii numită aritmetică modulară. Acestea se bazează pe studiul congruentelor pe inelul de numere întregi . Putem cita ca exemplu teorema mică a lui Fermat sau teorema a două pătrate ale lui Fermat cu dovada lui Richard Dedekind . Putem cita și legea reciprocității pătratice care se bazează pe structuri ale grupurilor ciclice. Există multe cazuri în care grupul de bază este non-monogen, dar numai abelian de tip finit, care se reduce la produs . O găsim de exemplu în teorema progresiei aritmetice sau teorema unităților lui Dirichlet .

Teoria inelelor

Grupurile monogene joacă un rol în teoria inelului, în special în cazul inelelor unitare. Într-adevăr, unitatea inelului generează (pentru adăugare) un grup monogen, făcând posibilă definirea caracteristicii unui inel .

Teoria lui Galois

În cazul particular al câmpurilor comutative , grupurile ciclice au, de asemenea, un rol fundamental. Fiecare extensie a corpului are un grup asociat numit grupul Galois . Abel-Ruffini teorema indică faptul că proprietățile comutativitatea sunt esențiale pentru înțelegerea teoriei ecuațiilor . The Kronecker-Weber teorema arată că înțelegerea soluției de ecuații algebrice este în mod esențial legată de structura extensiilor cyclotomic din care grupul Galois este ciclic.

Teoria lui Galois face posibilă construirea tuturor câmpurilor finite , intim asociate cu structura grupurilor ciclice. Astfel, grupul aditiv este un produs direct al mai multor apariții ale unui grup ciclic, iar grupul multiplicativ este ciclic.

Teoria informației

Teoria informației folosește pe scară largă grupurile ciclice. Un element esențial al criptologiei este că este relativ simplu să construim un număr prim mare, dar dificil de descompus un număr mare în numere prime. Acest principiu stă la baza criptării RSA . Algoritmii de descompunere, numiți testul de primalitate, se bazează foarte general pe grupe ciclice. Ca exemplu, pot fi menționate cele ale lui Fermat , Miller-Rabin sau Solovay-Strassen .

Teoria codurilor corective , menită să asigure nu siguranța, ci fiabilitatea, nu trebuie depășită. Marea majoritate a codurilor utilizate în industrie fac parte din familia codurilor ciclice bazate pe diferite grupuri ciclice.

Teorema fundamentală

Grupurile ciclice au o structură astfel încât puterile (în notație multiplicativă) ale unui element bine ales generează întregul grup. Această situație este ilustrată în figura următoare, care prezintă graficul ciclurilor grupei ciclice C n , pentru primele valori ale lui n .

Elementul neutru este reprezentat de un punct negru; un element generator poate fi obținut luând (de exemplu) primul element prin rotirea spre dreapta; pătratul acestui element generator se obține prin rotirea întotdeauna în aceeași direcție și așa mai departe. Elementul ( n +1) -th este egal cu primul, ( n +2) -th cu al 2 - lea și așa mai departe.

C n reprezintă grupul ciclic de ordinul n .


C 1	C 2	C 3	C 4	C 5	C 6	C 7	C 8

Orice coeficient al unui grup monogen este monogen ( clasa generatorului generează grupul coeficient ), în special orice coeficient al grupului (ℤ, +). Grupurile monogene sunt obținute astfel:

Un grup este monogen (dacă și) numai dacă este izomorf la (ℤ / n ℤ, +) pentru un număr natural n .

Această teoremă arată că acest grup este unic pentru o anumită ordine și elucidează complet structura sa. Urmează imediat câteva corolare:

Orice grup monogen este abelian .
Numărul de generatoare ale unui grup ciclic de ordinul n este egal cu φ ( n ), unde φ denotă indicatorul Euler .

Demonstrații

Orice grup monogen este izomorf la (ℤ / n ℤ, +) pentru un număr natural n .
Să G = ⟨ g ⟩ un grup monogenic. Morfismul k ↦ g k , de la (ℤ, +) în ( G , •), este surjectiv si sa nucleu este un subgrup de ℤ , prin urmare , este egal cu n ℤ pentru un întreg n . Încheiem grație primei teoreme a izomorfismului .
Orice grup monogen este abelian deoarece izomorf (conform punctului 1.) la un coeficient al grupului abelian ℤ.
Numărul de generatoare ale unui grup ciclic de ordinul n este egal cu φ ( n ).
Pentru grupul ciclic (ℤ / n ℤ, +), generatoarele sunt inversibilele inelului ℤ / n ℤ deci există φ ( n ) . Această enumerare se extinde la orice grup ciclic de ordin n datorită punctului 1.

Proprietăți

Subgrupuri

Structura rețelei subgrupurilor unui grup monogen ℤ / n ℤ este simplă:

Subgrupurile unui grup monogen sunt monogene (în special, subgrupurile lui ℤ sunt părțile formei d ℤ cu d întreg).
Dacă n ≠ 0, pentru orice divizor pozitiv d al lui n , subgrupul lui ℤ / n ℤ generat de clasa lui $nu / d$ este singurul subgrup de ordine d .

Putem deduce:

{\ displaystyle n = \ sum _ {d \ mid n} \ varphi (d)}

ecuație care oferă în schimb o reciprocitate:

Pentru ca un grup G de ordinul n să fie ciclic, este suficient ca pentru orice divizor d al lui n , G să aibă cel mult un subgrup ciclic de ordinul d .

În special, orice grup de prim ordin este ciclic. Cu alte cuvinte: fiecare număr prim este un număr ciclic .

Acest lucru face, de asemenea, posibil să se arate că orice subgrup finit al grupului multiplicativ al unui câmp comutativ este ciclic.

Teorema chineză

Teorema restului chinez permite descompunerea unui grup ciclic finit în grupări ciclice mai mici. Această teoremă este utilizată pe scară largă în teoria numerelor algebrice și mai precis în aritmetica modulară . Este, de asemenea, baza multor algoritmi din criptografie , cum ar fi criptarea RSA . În teoria grupurilor, teorema este enunțată după cum urmează:

Fie n 1 ,…, n k (≥ 1) numere întregi două până la două prime între ele și n produsul lor. Apoi, orice grup ciclic de ordinul n este izomorf pentru un produs de k grupări ciclice de ordinele respective n 1 , ..., n k .

Demonstrație

Conform teoremei # Fundamentale , este suficient să se arate că (sub aceste ipoteze) grupurile ℤ / n ℤ și (ℤ / n 1 ℤ) ×… × (ℤ / n k ℤ) sunt izomorfe. Dovada este identică cu cea din § „În inele ℤ / n ℤ” a articolului detaliat, înlocuind „inele” cu „grupuri”.

Notă : exponentul grupului de produse este egal cu PPCM al n i . Dacă acestea nu sunt prime între ele două câte două, exponentul grupului de produse este deci strict mai mic decât ordinea sa n și acest grup nu este atunci ciclic.

Deducem din teoremă o descompunere a unui grup ciclic în „factori primari”: dacă n este ordinea grupului, să

{\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}

descompunerea sa într-un produs de factori primi (unici până la ordinea factorilor), unde ( p i ) este o familie de k numere prime distincte și α i întregi mai mari sau egale cu 1. Teorema anterioară se aplică prin setare și dă: ${\ displaystyle n_ {i} = p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}$

Orice grup ciclic se descompune (într-un mod esențial unic ) într-un produs de grupări ciclice de ordinul unei puteri de număr prim.

Morfism

Endomorfism

Pentru toate grupurile abeliene G și H , mulțimea Hom ( G , H ) a morfismelor de la G la H este înzestrată în mod natural cu o structură de grup abelian . În special, setul End ( G ): = Hom ( G , G ) al endomorfismelor unui grup monogen G este un grup abelian și chiar monogen, deoarece:

Dacă g este un generator de G , harta End ( G ) → G , ψ ↦ ψ ( g ) este un izomorfism al grupurilor .

Într-adevăr, acest morfism este injectiv (endomorfismul ψ este în întregime determinat de ψ ( g )) și surjectiv, deoarece invers, dacă h este un element al lui G , de forma h = g p , atunci endomorfismul id p (puterea p -th în End ( G ) al endomorfismului identitar ), care la x asociază x p , trimite g peste h .

Pentru orice endomorfism ψ al lui G , de forma x ↦ x p , im (ψ) este subgrupul lui G generat de g p și ψ este un automorfism dacă și numai dacă este surjectiv.

Mai precis, dacă G este de ordinul n , ker (ψ) este subgrupul lui G de ordinul GCD ( n , p ) și im (ψ) este cel de ordinul n / GCD ( n , p ). Prin urmare:

Un grup ciclic de ordin n are exact automorfisme φ ( n ), unde φ denotă indicatoarea Euler : morfisme de forma x ↦ x p , pentru p prim cu n și între 1 și n .

Aceste automorfisme formează, în grupul simetric S ( G ) un subgrup abelian, a cărui structură este descrisă în articolul Inel ℤ / n ℤ, § Unități de grup .

Caracter

Un caracter dintr - un grup G este un morfism de G în grupul multiplicativ (ℂ *, x) de nenuli elemente ale câmpului de numere complexe . Această noțiune se află în centrul unei teorii importante, aceea a reprezentărilor unui grup finit .

Dacă G este de ordinul n , caracterele sale au valori în grupul U n al n -a rădăcinilor unității (cf. articol detaliat). Acest grup este ciclic de ordinul n, prin urmare:

Imaginea unui personaj este un subgrup U d al lui U n .
Să G = ⟨ g ⟩ o grupare ciclică de ordinul n . Harta χ ↦ χ ( g ) este un izomorfism, al grupului de caractere de la G la U n .

(Acest lucru poate fi dedus din studiul de mai sus al endomorfismelor lui G sau demonstrat exact în același mod.)

Rețineți că, dacă r este a n-a rădăcină a unității, caracterul unic χ astfel încât χ ( g ) = r satisface, pentru orice număr întreg m : χ ( g m ) = r m .

Grupuri practic ciclice

Un grup G se spune că este practic ciclic dacă are un subgrup monogen C de indice finit (finitudinea indicelui este echivalentă cu existența unei părți finite F a lui G astfel încât orice element al lui G este produsul unui element de F de un element al lui C ).

În mod trivial , toate grupurile finite sunt practic ciclice, la fel ca și grupul infinit ℤ, deoarece este monogen.

Orice subgrup abelian al unui grup hiperbolic este practic ciclic.

Pentru un grup de tip finit , numărul de capete (al graficului Cayley , pentru orice parte generatoare finită) este egal cu 2 dacă și numai dacă grupul este „practic infinit ciclic”, adică are un subgrup cu indice finit izomorf ℤ.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Cyclic group ” (a se vedea lista autorilor ) .

Aceasta este definiția cea mai comună în franceză, deși unii autori francezi au adoptat utilizarea anglo-germanică conform căreia un grup ciclic nu este neapărat finit. Astfel, o grupare ciclică nu este terminat în mod necesar de Roger Godement , Curs algebra , Hermann , 3 e ed., 1978, p. 121, N. Bourbaki , Grupuri și algebre Lie , Partea 2, Springer , 2006, p. 82 și David A. Madore, „ Modular Cyclic and Integer Group ” . Cu toate acestea, N. Bourbaki , Algebra: Capitolele 1-3 , Springer,2007, A 2 -a ed. , 636 p. ( ISBN 978-3-540-33850-5 , citit online ) , p. I.47(idem, aceeași pagină, în ediția din 1970), definește un grup ciclic ca un grup monogen finit (termenul ciclic se referă la o buclă : ridicat la o anumită putere n , generatorul g este egal cu el însuși și ordinea grupul este terminat). La fel în ed. Française d'Algebre de S. Lang, 2004, unde traducătorul spune (p. XVI) că s-a străduit să adopte terminologia consacrată de tradiția franceză.
Această caracterizare a lui φ face posibilă demonstrarea multiplicității sale și deducerea unei formule explicite din aceasta (a se vedea articolul „ Indicatorul lui Euler ”).
A se vedea de exemplu „Subgrupuri de of” și „Subgrupuri ale unui grup ciclic” pe Wikiversitate .
Vezi dovada acestei propuneri pe Wikiversitate .
(en) Joseph J. Rotman (en) , teoria Galois , Springer ,1998, A 2 -a ed. ( 1 st ed. 1990) ( linia citit ) , p. 64-65.
Vedeți o dovadă a acestei leme pe Wikiversitate .
O dovadă directă mai frecventă este aplicarea teoremei lui Lagrange .
Vedeți aceste dovezi pe Wikiversitate .

Vezi și tu

Bibliografie

Jean-François Labarre , Teoria grupurilor , PUF , col. „Științe” ( nr . 1),1978( ISBN 978-2-13-035684-4 )
Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]

Articole similare

Grup diciclic
Grup cvasiciclic
Grupuri abeliene simple (grupuri de prim ordin)
Logaritm discret