Spațiul funcțional

În matematică , un spațiu funcțional este un set de aplicații de o anumită formă de la un set la un set. $X$ $Y.$

Se numește „spațiu” deoarece, în funcție de caz, poate fi un spațiu topologic , un spațiu vectorial sau ambele.

Zone

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

în teoria mulțimilor , setul de părți ale unui set poate fi identificat cu setul de funcții ale cu valori în , notate . Mai general, toate aplicațiile sunt notate ; $X$ $X$ $\ {0,1 \}$ $\ {0,1 \} ^ {X}$ $X \ rightarrow Y$ $Y ^ {X}$
în algebră liniară , setul de hărți liniare de la un spațiu vectorial la altul pe același câmp comutativ este el însuși un spațiu vectorial; $E$ $F$
în analiza funcțională , avem aceeași construcție cu hărți liniare continue , pe spații vectoriale topologice , tipic: spații de funcții cu valori reale sau complexe, prevăzute cu o anumită topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile hilbertiene și spațiile Banach .
în analiza funcțională, setul de mapări al setului de numere întregi naturale din orice set se numește spațiu de secvență . Este alcătuit din toate secvențele elementelor ; $X$ $X$
în topologie , putem încerca să construim o topologie pe spațiul funcțiilor continue ale unui spațiu topologic X într-un alt Y , a cărui utilitate depinde de natura spațiilor. O topologie frecvent utilizată este topologia compact-deschisă . O altă topologie posibilă este topologia produsă pe spațiul funcțiilor (nu neapărat continuu) . În acest context, această topologie este denumită și topologia de convergență simplă ; $Y ^ {X}$
în topologia algebrică , studiul teoriei homotopiei se bazează în esență pe studiul invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
în teoria proceselor stochastice , problema tehnică de bază este cum se construiește o măsură de probabilitate pe un spațiu de funcții alcătuit din căi de proces (funcții ale timpului);
în teoria categoriilor , un spațiu funcțional se numește obiect exponențial . Apare pe de o parte ca bifunctorul Hom ; dar ca un functor (simplu), de tipul [ X , -], apare ca un functor adjunct unui functor de tip (- × X ) pe obiecte;
în lambda-calcul și programare funcțională , tipurile de spații funcționale sunt utilizate pentru a exprima ideea funcțiilor de ordin superior ;
în teoria domeniului , ideea fundamentală este de a găsi construcții din ordine parțiale care pot modela lambda-calcul, prin crearea unei categorii carteziene închise .

Analiza funcțională

Domenii generale

un spațiu local convex este un spațiu vector topologic pe R a cărui topologie este definită de o familie de semi-norme (sau într-un mod echivalent având baze de vecinătăți convexe );
un spațiu Fréchet este un spațiu convex local separat de care topologia este definită de o familie numărabilă de semi-norme (sau într-un mod echivalent: metrizabil ) și complet (pentru oricare dintre distanțele care definesc topologia acesteia);
un spațiu Banach este un spațiu vectorial complet normalizat ;
un spațiu Hilbert este un spațiu Banach a cărui normă este asociată cu un produs punct .

Spații speciale

Spațiul Schwartz cu funcții de clasă în scădere rapidă și dualul său topologic , spațiul distribuțiilor temperate ; $C ^ {\ infty}$
Spații Lp ;
${\ mathcal {K}} ({\ mathbb {R}})$ spațiul funcțiilor continue cu suport compact prevăzut cu norma de convergență uniformă;
${\ mathcal {B}} ({\ mathbb {R}})$ spațiul funcțiilor continue delimitate ;
${\ mathcal {C}} _ {{0}} ({\ mathbb {R}})$ spațiul funcțiilor continue care tind spre zero la infinit;
${\ mathcal {C}} ^ {{\ infty}} ({\ mathbb {R}})$ spațiul funcției clasei ; $C ^ {\ infty}$
${\ mathcal {C}} _ {c} ^ {{\ infty}}$ spațiul funcțiilor C∞ cu suport compact , prevăzut cu standarde uniforme ale funcției și ale derivatelor sale;
${\ mathcal {D}} ({\ mathbb {R}})$ spațiu de funcții cu suport compact, de data aceasta prevăzut cu o anumită topologie limită inductivă ; $C ^ {\ infty}$
${\ mathcal {O}} _ {U}$ spațiul funcțiilor holomorfe;
$W ^ {{k, p}} \,$ Spații Sobolev ;
Spații Besov
aplicații afine pe bucăți;
spațiul funcțiilor continue prevăzut cu topologia compact-deschisă;
spațiul funcțiilor prevăzut cu topologia convergenței simple;
Spații rezistente ;
Spații Hölder .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Funcție spațiu ” ( vezi lista autorilor ) .