Legea exponențială | |
Probabilitate densitate | |
Funcția de distribuție | |
Setări | intensitate sau inversă a scalei ( reală ) |
---|---|
A sustine | |
Probabilitate densitate | |
Funcția de distribuție | |
Speranţă | |
Median | |
Modă | |
Varianța | |
Asimetrie | |
Curtoză normalizată | |
Entropie | |
Funcție generatoare de momente | |
Funcția caracteristică | |
O lege exponențială modelează durata de viață a unui fenomen fără memorie , sau fără îmbătrânire sau fără uzură : probabilitatea ca fenomenul să dureze cel puțin s + t ore știind că a durat deja t ore va fi aceeași cu probabilitatea de a dura s ore de la pornirea inițială. Cu alte cuvinte, faptul că fenomenul a durat t ore nu îi schimbă speranța de viață din timpul t .
Mai formal, să fie X o variabilă aleatorie care definește durata de viață a unui fenomen, a așteptării matematice . Credem că:
Apoi, densitatea probabilității lui X este definită de:
și spunem că X urmează o lege exponențială a parametrilor (sau a factorului de scară) . În schimb, o variabilă aleatorie care are această lege îndeplinește proprietatea de a fi lipsită de memorie .
Această lege face posibilă, printre altele, modelarea duratei de viață a unui atom radioactiv sau a unei componente electronice. Poate fi folosit și pentru a descrie, de exemplu, timpul scurs între două apeluri telefonice primite la birou sau timpul scurs între două accidente auto în care este implicată o anumită persoană.
Densitatea de probabilitate a distribuției exponențială cu parametrul λ > 0 ia forma:
Distribuția este susținută de interval .
Funcția de distribuție este dată de:
Fie X o variabilă aleatorie care urmează o lege exponențială cu parametrul λ .
Știm, prin construcție, că așteptarea matematică a lui X este .
Calculăm variația prin integrarea de către părți ; obținem .
Deviația standard este .
Mediana , adică, momentul T , astfel încât , este .
Faptul că durata de viață este fără îmbătrânire are ca rezultat următoarea egalitate:
Prin teorema lui Bayes avem:
Propunând probabilitatea ca durata de viață să fie mai mare decât t , găsim, prin urmare:
Deoarece funcția G este monotonă și mărginită, această ecuație implică faptul că G este o funcție exponențială . Deci există k real astfel încât pentru toate t :
Rețineți că k este negativ , deoarece G este mai mic de 1. Densitatea de probabilitate f este definită, pentru toate t ≥ 0, de:
Calculul așteptării lui X , care trebuie să fie egal, conduce la ecuația:
Calculăm integralul prin integrarea pe părți; noi obținem :
Prin urmare
și
O proprietate importantă a distribuției exponențiale este pierderea memoriei sau lipsa memoriei . Această proprietate este tradusă matematic prin următoarea ecuație:
Imaginați-vă că T reprezintă durata de viață a unui bec cu LED înainte de a eșua: probabilitatea ca acesta să dureze cel puțin s + t ore știind că a durat deja t ore va fi aceeași cu probabilitatea de a dura s ore de la pornirea inițială- sus. Cu alte cuvinte, faptul că nu s-a defectat timp de t ore nu își schimbă speranța de viață din timpul t . Trebuie remarcat faptul că probabilitatea ca un bec „clasic” (cu filament) să se descompună urmează o lege exponențială doar ca o primă aproximare, deoarece filamentul se evaporă în timpul utilizării și îmbătrânește.
Dacă variabilele aleatoare X , Y sunt independente și urmează două legi exponențiale ale parametrilor respectivi λ , μ , atunci Z = inf ( X ; Y ) este o variabilă aleatorie care urmează legea exponențială a parametrului λ + μ .
O zonă privilegiată a legii exponențiale este zona radioactivității ( Rutherford și Soddy). Fiecare atom radioactiv are o durată de viață care urmează o lege exponențială. Parametrul λ este apoi numit constanta de descompunere .
Viața medie se numește timpul caracteristic .
Legea numerelor mari permite să spunem că concentrația de atomi radioactivi vor urma aceeași lege. Mediana este timpul necesar T pentru ca populația să crească la 50% din populația inițială și se numește timpul de înjumătățire sau perioada.
Durata de viață a unei componente electronice este, de asemenea, frecvent modelată de o lege exponențială. Proprietatea sumă este utilizată pentru a determina speranța de viață a unui sistem format din două componente în serie.
În teoria cozii , sosirea clienților într-o coadă este adesea modelată de o lege exponențială, de exemplu în modelul cozii M / M / 1 .
Legea geometrică este o versiune discretizată a legii exponențiale. În consecință, legea exponențială este o limită a legilor geometrice renormalizate.
Proprietate - Dacă X urmează legea exponențială de așteptare 1, și dacă apoi Y urmează legea geometrică a parametrului
DemonstrațieRețineți că, pentru un număr real x , denotă partea întreagă superioară a lui x , definită de
Prin alegere
facem astfel, dintr-o variabilă exponențială aleatoare X ' a parametrului λ o variabilă aleatorie
,
conform unei legi geometrice a parametrului arbitrar p (cu totuși constrângerea 0 < p <1 ), deoarece X = λ X ' urmează apoi o lege exponențială a parametrului 1 (și așteptării 1).
Reciproc,
Proprietate - Dacă, pentru , variabila aleatoare Y n urmează legea geometrică a parametrului p n , și dacă
atunci a n Y n converge în lege către legea exponențială a parametrului λ .
DemonstrațieNe oferim o variabilă exponențială aleatorie λ cu parametrul 1 și setăm
Apoi , Y n și Y n ' au aceeași lege, în virtutea proprietății anterioare. Mai mult, pentru toți ω
Acum, pe de o parte, convergența aproape sigură duce la convergența în drept, pe de altă parte, legea X / λ este legea exponențială a parametrului λ .
Putem vedea aceste convergențe diferite ca simple consecințe ale convergenței schemei Bernoulli către procesul Poisson .
Legea exponențială este o lege Weibull cu un factor de formă k (sau β ) de 1.