Metoda axiomatică permite definirea setului de legi logice de primul ordin din axiome logice și reguli de deducere în așa fel încât toate legile logice să fie fie o axiomă, fie o formulă derivată din axiomele cu un număr finit de aplicații ale reguli de deducere.
Această prezentare, care este pur sintactică, este echivalentă cu prezentarea semantică a teoriei modelelor , care face posibilă definirea unei legi logice ca o formulă adevărată în toate lumile posibile. Această echivalență face obiectul unei teoreme de completitudine .
Legile logice sunt obținute în cadrul sistemului Whitehead și Russell (1910) din șase scheme axiomice și două reguli de deducere, regula detașării și regula generalizării.
Aceste scheme de axiome sunt după cum urmează. p, q și r pot fi înlocuite cu orice formule (cu sau fără variabile libere) din calculul predicatelor de ordinul întâi .
unde p 'se obține din p prin substituirea unei variabile nelegate y în p pentru toate aparițiile libere ale x în p.
unde p este o formulă care nu conține x ca variabilă liberă
Regula detașării sau modus ponens spune că din cele două premise p și (dacă p atunci q) putem deduce q.
Regula generalizării spune că din premisa unică p putem deduce (toate x sunt astfel încât p)
Putem demonstra că toate adevărurile anhipotetice, în sensul deducției naturale, sunt fie axiome obținute din aceste diagrame, fie consecințe care pot fi deduse într-un număr finit de pași din aceste axiome.
Toate dovezile care pot fi formalizate în deducție naturală pot fi formalizate în calculul logic (primul ordin) al lui Whitehead și Russell și invers.
Gödel a dovedit o teoremă a completitudinii care afirmă că aceste șase scheme de axiome și aceste două reguli de deducție sunt suficiente pentru a obține toate legile logice.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">