În matematică , expresiile „ pentru orice ” și „ acolo există ”, utilizate pentru a formula propoziții matematice în calculul predicatelor , se numesc cuantificări . Simbolurile care reprezintă limbajul formal se numesc cuantificatori (sau anterior cuantificatori ).
Cuantificarea universală („pentru toți ...” sau „orice ...”) este notată cu simbolul ∀ (un A înapoi ).
Exemplu:
∀ x P ( x )citește
„Pentru toate x P ( x )”și înseamnă
„Orice obiect al domeniului considerat are proprietatea P ”.Notația „∀” a fost folosită pentru prima dată de Gerhard Gentzen în 1933 (publicată în 1934). Cuvântul german alle înseamnă „toate”, propune un „simbol ( Zeichen ) valabil pentru toți ( für alle )” . Gentzen indică faptul că a ales ca „simbol pentru tot” ( All-Zeichen ) A inversat prin analogie cu simbolul „∃” pentru cuantificatorul existențial pe care îl ia de la Russell .
Cuantificarea existențială („există un ...” în sensul „există cel puțin unul ...”) se notează cu semnul ∃ (un E returnat). Mai precis,
∃ x P ( x )mijloace
există cel puțin un x astfel încât P ( x ) (cel puțin un obiect al domeniului considerat are proprietatea P )Pentru a exprima unicitatea pe lângă existență, semnul folosit este used! (cuantificatorul existențial urmat de un semn de exclamare), mai precis,
∃! x P ( x )mijloace
există un x unic astfel încât P ( x ), sau altfel există unul și un singur x astfel încât P ( x ) (un obiect exact al domeniului considerat are proprietatea P ).Acest ultim cuantificator este definit prin calcularea unor predicate egalitare din cele două cuantificatoare precedente (și din egalitate), de exemplu prin
∃! x P ( x ) ≡ ∃ x [ P ( x ) și ∀ y ( P ( y ) ⇒ y = x )].
Notația ∃ a fost folosită pentru prima dată de Giuseppe Peano în 1897 în volumul II al Formei sale de matematică cu o sintaxă diferită, semnul fiind direct asociat cu predicatul (∃ P pentru ∃ x P ( x )). Bertrand Russell este primul care îl folosește în modul curent, ca operator de legătură.
Negarea lui este:
Sau: .Negarea lui este:
, sau: în logica clasică , dar nu în logica intuiționistă .Pentru o formulă formatată în avans , ordinea cuantificatoarelor dintre fiecare bloc de cuantificatoare identice (deci bloc de cuantificatoare existențiale sau bloc de cuantificatoare universale) este irelevantă, formula rămânând aceeași. Pe de altă parte, alternarea blocurilor de cuantificatori existențiali sau universali oferă formule foarte distincte a căror complexitate logică este observată în special în ierarhia aritmetică .
În deducția naturală , Gerhard Gentzen prezintă cele două cuantificatoare după cum urmează:
Reguli introductive | Reguli de eliminare | |
---|---|---|
pentru tot | . | |
exista |
Dacă luăm un grup de pisici negre, putem spune că orice pisică alegem din acest grup, va fi neagră. ( )
Dacă într-un grup de pisici negre există câteva pisici albe (sau doar una), putem spune că există o (sau doar una) pisică albă în acest grup.
( )
Simbol | Unicode | HTML | Latex | |
---|---|---|---|---|
pentru tot | ∀ | U + 2200 | & pentru toți; | \ pentru toți |
exista | ∃ | U + 2203 | &exista; | \ există |
Expoziția regulilor care guvernează cuantificatorii obișnuiți există și orice se găsește în toate manualele de calcul al predicatelor , a căror bibliografie poate fi găsită pe logica matematică .
Pentru o generalizare a acestor cuantificatori putem apela la: