Ecuația Laplace
În analiza vectorială , ecuația Laplace este o ecuație diferențială parțială eliptică de ordinul doi , al cărei nume este un tribut adus fizicianului matematic Pierre-Simon de Laplace .
Introdusă în scopul mecanicii newtoniene , ecuația lui Laplace apare în multe alte ramuri ale fizicii teoretice: astronomie , electrostatică , mecanica fluidelor , propagarea căldurii , difuzie , mișcare browniană , mecanică cuantică .
Funcțiile de soluție ale ecuației lui Laplace se numesc funcții armonice .
Ecuația Laplace tridimensională
În coordonatele carteziene într-un spațiu euclidian de dimensiunea 3, problema constă în găsirea tuturor funcțiilor cu trei variabile reale care satisfac ecuația diferențială parțială de ordinul doi:
ψ(X,y,z){\ displaystyle \ psi (x, y, z)}
∂2ψ∂X2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial z ^ {2}}} = 0}.
Pentru a simplifica scrierea, introducem un operator diferențial notat și numit operator Laplace , sau pur și simplu laplacian , astfel încât ecuația diferențială parțială precedentă este scrisă într-un mod compact:
Δ{\ displaystyle \ Delta}
Δψ=0{\ displaystyle \ Delta \ psi = 0}.
În coordonate sferice în convenția rază-colatitudine-longitudine, soluția generală a ecuației Laplace este
ψ(r,θ,ϕ)=∑l=0∞∑m=-ll[LAlmrl+Blmrl+1][VSlmPlm(cosθ)+DlmÎlm(cosθ)]eeumϕ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ left [A_ {lm} r ^ {l} + {\ frac {B_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ right] \ left [C_ {lm} P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) + D_ { lm} Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ right] e ^ {im \ phi}}
unde și sunt polinoamele Legendre asociate de primul și respectiv al doilea tip. Deoarece cei de al doilea tip au discrepanțe, de obicei nu sunt luați în considerare în problemele fizice. De asemenea, este mai frecvent să combinați polinoamele Legendre asociate și fazele sub formă de armonici sferice .
Plm(cosθ){\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}Îlm(cosθ){\ displaystyle Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}eeumϕ{\ displaystyle e ^ {im \ phi}} Dalm(θ,ϕ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}
În coordonatele cilindrice , există două posibilități în funcție de condițiile limită ale soluției dorite. Dacă soluția trebuie să oscileze între două valori ale , în special un cilindru de rază și înălțime ale cărui capete sunt setate la zero, atunci soluția generală va avea forma
z{\ displaystyle z}la{\ displaystyle a}h{\ displaystyle h}
ψ(r,θ,z)=∑m=-∞∞∑nu=0∞[LAmnuEum(nuπrh)+BmnuKm(nuπrh)][VSmnupăcat(nuπzh)+Dmnucos(nuπzh)]eeumθ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} I_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) + B_ {mn} K_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) \ right] \ left [C_ {mn} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) + D_ {mn} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}
unde și sunt funcțiile Bessel modificate ale primului și respectiv celui de-al doilea tip.
Eum{\ displaystyle I_ {m}}Km{\ displaystyle K_ {m}}
Dacă soluția dorită trebuie să fie zero pe suprafața laterală a cilindrului, atunci soluția generală va avea forma
ψ(r,θ,z)=∑nu=0∞∑m=-∞∞[LAmnuJm(αmnurla)+BmnuNUm(αmnurla)][VSmnusinh(αmnuzla)+Dmnucosh(αmnuzla)]eeumθ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} J_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} {a}} \ right) + B_ {mn} N_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} { a}} \ right) \ right] \ left [C_ {mn} \ sinh \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ right) + D_ {mn} \ cosh \ left ( \ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}
unde și sunt Bessel și funcțiile Neumann , respectiv, și unde este n- lea zero a -M lea funcției Bessel.
Jm{\ displaystyle J_ {m}}NUm{\ displaystyle N_ {m}}αmnu{\ displaystyle \ alpha _ {mn}}
Ecuația bidimensională a lui Laplace
În coordonatele carteziene într-un spațiu euclidian de dimensiunea 2, problema constă în găsirea tuturor funcțiilor cu două variabile reale care satisfac:
V(X,y){\ displaystyle V (x, y)}
∂2V∂X2+∂2V∂y2=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial y ^ {2}}} = 0 }.
Arătăm că orice funcție holomorfă oferă soluții ale ecuației bidimensionale a lui Laplace prin partea sa reală și partea sa imaginară; în plus, aceste soluții sunt ortogonale în toate punctele.
Mementouri privind funcțiile holomorfe
Orice funcție polinomială cu coeficienți complecși este olomorfă pe ; la fel sunt și funcțiile trigonometrice și funcția exponențială (funcțiile trigonometrice sunt de fapt relativ apropiate de funcția exponențială, deoarece pot fi definite din aceasta folosind formulele lui Euler ).
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
- Funcția logaritmică este holomorfă pe setul de numere complexe private de jumătatea liniei de reali negativi (vorbim de „tăiat”).
- Funcția rădăcină pătrată poate fi definită de și este astfel holomorfă oriunde se află funcția logaritmului.z=e12lnz{\ displaystyle {\ sqrt {z}} = e ^ {{\ frac {1} {2}} \ ln z}}
- Funcțiile trigonometrice reciproce au în mod similar tăieturi și sunt holomorfe peste tot, cu excepția tăieturilor.
- Funcția inversă este holomorfă pe .z↦1/z{\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}VS∗{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}
Rezultate privind ecuația lui Laplace și funcțiile holomorfe
Prima teoremă
Teoremă - Fiecare funcție holomorfă este armonică .
Demonstrație
Pentru orice funcție pe de clasa C 2 a fost, în conformitate cu Schwarz teorema :
F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
∂2F∂X∂y=∂2F∂y∂X{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x \ partial y}} = {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial y \ partial x}}},
din care deducem:
ΔF=4∂(∂¯F){\ displaystyle \ Delta F = 4 \ partial ({\ overline {\ partial}} F)},
unde cei doi operatori diferențiali și sunt definiți de:
∂{\ displaystyle \ partial}∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}
∂=12(∂∂X-eu∂∂y),∂¯=12(∂∂X+eu∂∂y){\ displaystyle \ partial = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) , \ qquad {\ overline {\ partial}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ dreapta)}.
Dacă este holomorf, satisface în continuare ecuația Cauchy-Riemann :
F{\ displaystyle F}
∂¯F=0{\ displaystyle {\ overline {\ partial}} F = 0},
astfel încât:
ΔF=4∂(∂¯F)=4∂0=0{\ displaystyle \ Delta F = 4 \ partial ({\ overline {\ partial}} F) = 4 \ partial 0 = 0}.
Notă : (caz special al descompunerii unui vector laplacian ). Dacă se descrie descompunerea unei funcții complexe în parte reală și parte imaginară
F{\ displaystyle F}
F=V+euΦ{\ displaystyle F = V + i \ Phi}
atunci este scris cel al lui Laplacian:
ΔF=ΔV+euΔΦ{\ displaystyle \ Delta F = \ Delta V + i \ Delta \ Phi},
prin urmare F este armonic dacă și numai dacă V și este. Prin urmare, partea reală și partea imaginară a unei funcții holomorfe sunt armonice.
Φ{\ displaystyle \ Phi}
A doua teoremă
Teorema - Partea reală și liniile imaginii de nivel ale unei funcții holomorfe sunt ortogonale.
Demonstrație
Cu aceleași notații ca înainte, ecuațiile Cauchy-Riemann sunt, de asemenea, scrise:
∂V∂X=∂Φ∂yși∂V∂y=-∂Φ∂X{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {\ partial V} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}}}
(care este interpretat în termeni de transformare conformală ). Deducem imediat:
∂V∂X⋅∂Φ∂X+∂V∂y⋅∂Φ∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} \ cdot {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial y}} \ cdot {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} = 0}.
Recunoaștem acolo produsul scalar al celor doi vectori:
grad→(V)⋅grad→(Φ)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (V) \ cdot {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (\ Phi) = 0}.
Deducem că curbele cu „ constantă” și „ constantă” sunt perpendiculare. Cu alte cuvinte, liniile de câmp ale lui sunt liniile echipotențiale ale (și invers).
V(X,y)={\ displaystyle V (x, y) =}Φ(X,y)={\ displaystyle \ Phi (x, y) =}V{\ displaystyle V}Φ{\ displaystyle \ Phi}
Ecuația Poisson
Prin înlocuirea dreptul de nici un membru printr - o funcție dată f , obținem ecuația Poisson : .
Δφ=f{\ displaystyle \ Delta \ varphi = f}
Note și referințe
-
În ceea ce privește orice ecuație diferențială parțială, este în general necesar să se specifice condiții la graniță, astfel încât problema să fie „bine pusă” matematic. Totuși, se poate întâmpla ca problema să fie ridicată, deși condițiile au fost remediate (de exemplu, condițiile la limita Neumann pe întreaga margine a domeniului). Cu toate acestea, nu este necesară nicio condiție inițială.
-
Walter Rudin , Analiză reală și complexă [ detaliul edițiilor ].
Articole similare