R0-matrice

În matematică , o -matrice este o matrice pătrată reală care oferă proprietăți particulare problemelor de complementaritate liniară . Aceste proprietăți, care sunt greu de exprimat în câteva cuvinte, sunt descrise în definiția dată mai jos. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definiții

Proprietățile echivalente care pot servi drept definiție pentru -matrice necesită reamintirea unor noțiuni. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Pentru un vector , notația înseamnă că toate componentele vectorului sunt pozitive. Având în vedere o matrice pătrată reală și un vector , o problemă de complementaritate liniară constă în găsirea unui vector astfel încât , și , care este scris în formă scurtă după cum urmează: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
O funcție definită cu valori reale se spune că este coercitivă dacă are seturile sale de subnivele mărginite , ceea ce înseamnă a spune că tinde la infinit dacă . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

Acum putem da definiția unei -matrice. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matrix - Spunem că o matrice pătrată reală este o -matrix dacă deține una dintre următoarele proprietăți echivalente: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

singura soluție a problemei este soluția nulă, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
oricare ar fi , funcția este coercitivă, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
funcția este coercitivă. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Notăm setul de -matrici de orice ordine. Numim -matricitate proprietatea unei matrice de a aparține ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Legătura dintre problemă și funcție vine din faptul că este soluția dacă și numai dacă (operatorul acționează componentă cu componentă). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $X$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Proprietate

Legătură cu coproprietatea

O valoare proprie sau o valoare proprie Pareto a unei matrice reale simetrice este o valoare critică a problemei de optimizare ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

adică valoarea criteriului într-un punct staționar al acestei probleme, ceea ce înseamnă a spune că problema complementarității liniare de mai jos are o soluție diferită de zero : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $X$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

Conform definiției 1 a -matricității, vedem că, pentru o matrice simetrică , această noțiune echivalează cu a spune că matricea nu are o covalută corectă zero. Poate fi util să apropiați această definiție de cea a valorilor proprii ale unei matrice simetrice , care pot fi obținute ca valori critice ale coeficientului Rayleigh , fără constrângerea de pozitivitate utilizată aici. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Anexe

Articol asociat

Complementaritatea liniară

Bibliografie

(ro) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problema complementarității liniare . Clasici în matematică aplicată 60. SIAM, Philadelphia, PA, SUA.
(ro) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Inegalități variaționale finite-dimensională și probleme de complementaritate (2 volume). Seria Springer în cercetarea operațională. Springer-Verlag, New York.