P0-matrice
În matematică , o matrice P0 este o matrice pătrată reală ai cărei minori majori sunt pozitivi . Aceste matrice intervin în studiul problemelor de complementaritate liniară . O noțiune conexă este aceea a P matrici .
Definiție
Observăm mai jos sub-matricea formată din elementele sale cu indici de rând în și indici de coloană înMEu,J{\ displaystyle M_ {I, J}}M{\ displaystyle M}Eu{\ displaystyle I}J.{\ displaystyle J.}
Matricea P0 - Spunem că o matrice pătrată reală este o matrice P0 dacă deține una dintre următoarele proprietăți echivalente:
M∈Rnu×nu{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}
- toți principalii minori ai pozitivului: pentru toți cei goali ,M{\ displaystyle M}Eu⊂{1,...,nu}{\ displaystyle I \ subset \ {1, \ ldots, n \}}detMEu,Eu⩾0{\ displaystyle \ det M_ {I, I} \ geqslant 0}
- pentru orice vector diferit de zero, putem găsi un index astfel încât și ,X∈Rnu{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}eu{\ displaystyle i}Xeu≠0{\ displaystyle x_ {i} \ neq 0}Xeu(MX)eu⩾0{\ displaystyle x_ {i} (Mx) _ {i} \ geqslant 0}
- pentru orice non-gol, valorile proprii reale ale lui sunt pozitive,Eu⊂{1,...,nu}{\ displaystyle I \ subset \ {1, \ ldots, n \}}MEu,Eu{\ displaystyle M_ {I, I}}
- pentru orice matrice diagonală pozitivă definită , este inversabilă.D{\ displaystyle D}M+D{\ displaystyle M + D}
Notăm setul de matrice P0 de orice ordine. Numim P0-matricitate proprietatea unei matrice de a aparține .
P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}
Numele acestor matrice a fost propus de Fiedler și Pták (1966), care au arătat, de asemenea, echivalența dintre definițiile 1 și 2. Expresia 4 a matricei P0 se datorează lui Chen și Harker (1993).
Proprietăți imediate
Din definiția 1, deducem că
-
M∈P0{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}dacă și numai dacă ,M⊤∈P0{\ displaystyle M ^ {\ top \!} \ in \ mathbf {P_ {0}}}
- dacă este simetric, atunci dacă și numai dacă este semidefinit pozitiv ,M{\ displaystyle M}M∈P0{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}M{\ displaystyle M}
-
P0∩Rnu×nu{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}} \ cap \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}este închis de ,Rnu×nu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}
- dacă este semidefinit pozitiv , atunciM+M⊤{\ displaystyle M + M ^ {\! \ top \!}}M∈P0.{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}.}
Complexitate
Verificarea faptului că o matrice dată este o matrice P0 este o problemă co-NP-completă .
Înu×nu{\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n \ times n}}
Anexe
Notă
-
(în) Domnul Fiedler, Pták V. (1966). Unele generalizări ale definirii și monotoniei pozitive. Numerische Mathematik , 9, 163–172. doi
-
(ro) B. Chen, PT Harker (1993). O metodă de continuare non-interioară pentru probleme de complementaritate liniară. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 14, 1168–1190. doi
-
(în) P. Tseng (2000). Co-NP-completitudinea unor probleme de clasificare a matricii. Programare matematică , 88, 183–192.
Articole similare
Lucrări generale
-
(ro) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problema complementarității liniare . Clasici în matematică aplicată 60. SIAM, Philadelphia, PA, SUA.
-
(ro) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Subiecte în analiza matricială . Cambridge University Press, New York, NY, SUA.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">