M-matrice

În matematică , o matrice M este o matrice pătrată reală care este atât matrice P , cât și matrice Z , ceea ce înseamnă că toți minorii săi majori sunt strict pozitivi, iar elementele sale extra-diagonale sunt negative. Pot fi utilizate și alte caracterizări, dintre care unele sunt prezentate mai jos.

Aceste matrice intervin în studiul problemelor de complementaritate liniară și în anumite discretizări ale operatorilor diferențiali, în special cei care respectă un principiu al maximului, cum ar fi Laplacianul.

Această clasă de matrice pare să fi fost introdusă de Alexander Ostrowski cu referire la Hermann Minkowski .

Definiții

Noțiunea de matrice M poate fi definită în diferite moduri, desigur echivalent. Conceptele de Z -matrix , P -matrix și S -matrix sunt utilizate mai jos .

M -matrix - Noi spunem că un pătrat reală matrice este un M -matrix dacă este o Z -matrix și dacă una dintre următoarele proprietăți echivalente deține, echivalent în ipoteza că : $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $M \ in \ mathbf {Z}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}}$ ,
${\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}}$ ,
$M$ este inversabil și (toate elementele inversului său sunt pozitive), ${\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}$
toate valorile proprii ale au o parte reală strict pozitivă. $M$

Notăm cu M setul de M -matrici de orice ordin. Denumit M -matricité proprietatea unei matrice să aparțină M .

Proprietăți

Algebră liniară

De Factorii LU ai unui M exit -matrix și poate fi calculată într - un mod stabil, fără să pivotantă. Această proprietate este valabilă și pentru factorizarea LU incompletă.

Complementaritatea liniară

O problemă de complementaritate liniară constă în găsirea unui vector astfel încât și În această definiție, este transpunerea și inegalitățile trebuie înțelese componentă cu componentă. Această problemă este uneori observată compact, după cum urmează ${\ displaystyle x \ geqslant 0,}$ $Mx + q \ geqslant 0$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!} (Mx + q) = 0.}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n},}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!}}$ $X$

${\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}$

Se notează setul admisibil al acestei probleme

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

Importanța matricilor M în problemele de complementaritate liniară provine din următorul rezultat.

M- matrice și problemă de complementaritate liniară - Pentru o matrice, următoarele proprietăți sunt echivalente: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}}$ ,
pentru toți , conține un minim (pentru ordinul a ) , care este soluția unică , $q$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$
pentru toți vectorii , soluțiile de verificat . ${\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q ^ {i})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}$

Anexe

Note

(în) Paginile 134, 161 (teorema de evaluare 2.3 și 6.1 din capitolul 6) în Bermon și Plemmons (1994).

Articole similare

Bibliografie

(ro) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Matrici nonegative în științele matematice . Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, SUA. ( ISBN 0898713218 ) .
(ro) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problema complementarității liniare . Clasici în matematică aplicată 60. SIAM, Philadelphia, PA, SUA.
(ro) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Subiecte în analiza matricială . Cambridge University Press, New York, NY, SUA.