B-spline

În matematică , o splină B este o combinație liniară de spline pozitive cu suport compact minim. B-spline sunt generalizarea curbelor Bézier , ele pot fi la rândul lor generalizate de NURBS .

Definiție

Dat fiind m +1 noduri t i în [0, 1] cu $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ o curbă spline de grade este o curbă parametrică $nu$ ${\ mathbf {S}} \ ,: \, [0,1] \ to {\ mathbb {R}} ^ {d}$ compus din funcții B-spline de grad n ${\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ in [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , unde P i formează un poligon numit poligon de control ; numărul de puncte care compun acest poligon este egal cu m - n .

Funcțiile m - n B-spline de grad n sunt definite prin inducție pe gradul inferior: $b _ {{j, 0}} (t): = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 & {\ mathrm {altfel}} \ end {matrix}} \ right.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Când nodurile sunt echidistante, adică atunci când sunt în progresie aritmetică, splinele B sunt considerate „uniforme”: acesta este cazul curbelor Bézier care sunt spline B uniforme, ale căror noduri t i (pentru i între 0 și m ) formează o secvență aritmetică de la 0 la 1 cu un pas constant 1 / m și unde gradul n al curbei Bézier nu poate fi mai mare de m .

Prin extensie, atunci când două noduri succesive și sunt îmbinate, unul prezintă : aceasta are ca efect definirea unei discontinuități a tangentei, pentru punctul curbei parametrizat cu o valoare de t , prin urmare, pentru a crea acolo o farfurie de vârf fără unghi; cu toate acestea, este adesea mai simplu să definiți acest „spline B extins” ca uniunea a două spline B definite cu noduri distincte, aceste spline fiind pur și simplu alăturate de acest vârf comun, fără a introduce nicio dificultate în evaluarea parametrică aici. B-spline pentru anumite valori ale parametrului t . Dar acest lucru face posibilă considerarea oricărui poligon simplu ca o splină B extinsă. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Proprietăți

Forma funcțiilor de bază este determinată de poziția nodurilor.

Curba se află în interiorul anvelopei convexe a punctelor de control.

O splină B de grad n $b _ {{i, n}} (t)$ este diferit de zero în intervalul [ t i , t i + n + 1 ]: $b _ {{i, n}} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 & {\ mathrm {altfel}} \ end {matrix}} \ right.$

Cu alte cuvinte, deplasarea unui punct de control doar local modifică forma curbei.

B-spline într-o singură dimensiune

B-spline pot fi utilizate ca funcții de bază în teoria aproximării. B-splina de grad n este dată de: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ left (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ right) _ {+} ^ {n}}$ , unde (y) + este o versiune extinsă a funcției de parte pozitivă : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} & {\ text {si}} x = 0 {\ text {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} & {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {și}} n \ geqslant 1 \ end {cases}}$

Recunoaștem în special splina de grad 0 ca funcție de poartă .

Aceste funcții nu se interpolează, dar regularitatea lor ridicată pe un mediu compact îi face să fie candidați interesanți în aproximarea funcțiilor.

Referințe

(în) P. Thevenaz, Blu T. și M. Unser, „ interpolare revizuită ” , IEEE Transactions on Medical Imaging , Vol. 19, n o 7,iulie 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

Legături interne

linkuri externe

(ro) Spline: Un cadru de unificare pentru procesarea imaginilor (tutorial despre B-splines)