Derivarea funcțiilor compuse

În matematică , în domeniul analizei , teorema de derivare a funcțiilor compozite (uneori numită regulă de lanț de derivare sau regulă de lanț și așa numită engleză ) este o formulă care explică derivata unei funcții compusă pentru două funcții diferențiate .

Permite cunoașterea j -a derivatei parțiale a i -a hărții parțiale a celor compuse din două funcții cu mai multe variabile fiecare. Schematic, în cazul în care o variabilă y depinde de o secundă variabilă u , care la rândul său depinde de o variabilă x , rata de schimbare a y -a lungul x poate fi calculată ca produs al ratei de schimbare a y -a lungul u și rata de variație de u conform cu x : . ${\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} u}} \ cdot {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} x}}$

Din această regulă rezultă aceea a schimbării variabilei pentru calculul integralelor .

Caz real

Teorema - Fie și să fie două intervale de , și două funcții astfel încât , și un punct de . $Eu$ $J$ $\ mathbb {R}$ $f: I \ to \ mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: J \ to \ mathbb {R}}$ $f (I) \ subset J$ $la$ $Eu$

Dacă este diferențiat la punctul și este diferențiat la punctul atunci compusul este diferențiat la punctul și $f$ $la$ $g$ $f (a)$ $g \ circ f$ $la$

{\ displaystyle (g \ circ f) '(a) = (g' (f (a))) \ times f '(a)}

unde este produsul obișnuit al . $\ ori$ $\ mathbb {R}$

O demonstrație este disponibilă pe Wikiversitate ( vezi mai jos ).

Prin urmare, dacă este diferențiat și diferențiat , avem : $f$ $Eu$ $g$ $J$ $Eu$

(g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ times f '

De asemenea, este posibil să-l scrieți cu notația Leibniz sub forma:

{\ frac {{\ text {d}} (g \ circ f)} {{\ text {d}} x}} = {\ frac {{{{text {d}} g} {{\ text {d }} f}} {\ frac {{\ text {d}} f} {{\ text {d}} x}}

unde indică faptul că depinde de parcă ar fi o variabilă. ${\ frac {{\ text {d}} g} {{\ text {d}} f}}$ $g$ $f$ $f$

Pentru o lectură mai bună, deseori cerem și obținem: $u = f (x)$

{\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} g \ circ f (x) = {\ frac {{\ text {d}} g (u)} {{\ text { d}} u}} \ cdot {\ frac {{\ text {d}} u} {{\ text {d}} x}}

Caz general

Teorema - Fie E , F două spații vectoriale normalizate și G un spațiu vector topologic separat. Să U un deschis E , V un deschis F , f o aplicație U în V , g o cerere la V în G , și are un punct U . Dacă f este diferențiat în punctul a și g diferențiat în punctul f ( a ) atunci g ∘ f este diferențiat în punctul a și

{\ rm {D}} _ {a} (g \ circ f) = ({\ rm {D}} _ {f (a)} g) \ circ {\ rm {D}} _ {a} f

În special dacă E = R n , F = R m și G = R p , matricea iacobiană a lui g ∘ f în punctul a este produsul celei din g în punctul f ( a ) prin cea a lui f în punctul a , acest lucru care poate fi scris, notând

{\ displaystyle f (x) = (f_ {1} (x), \ ldots, f_ {m} (x)), \ qquad g (y) = (g_ {1} (y), \ ldots, g_ { p} (y)) \ quad {\ text {și}} \ quad (g \ circ f) (x) = h (x) = (h_ {1} (x), \ ldots, h_ {p} (x ))}

{\ frac {\ partial h_ {i}} {\ partial x_ {j}}} (a) = \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial g_ {i}} {\ partial y_ {k}}} (f (a)) {\ frac {\ partial f_ {k}} {\ partial x_ {j}}} (a)

Vezi și tu

Articole similare

Link extern

Jean-Paul Jurzak, „ Derivarea funcțiilor compuse prin lanțul de calcule ” , pe jurzak.perso.math. cnrs.fr ,2014
Stéphane Le Borgne, „ Despre regula derivării lanțului ” , la Université de Rennes-I