Teorema Poincaré-Bertrand
Poincaré-Bertrand teorema se referă la rearanjarea termenilor pentru calculul unor integralelor improprii . A fost înființată de Henri Poincaré și Gaston Bertrand, precum și de Godfrey Harold Hardy .
State
Fie Γ o curbă închisă sau deschisă în planul complex, fie f (τ, τ ') o funcție definită pe Γ (în general de valoare complexă) și continuă în sensul lui Hölder față de τ și τ' , și t fi un punct pe Γ cu excepția unui capăt dacă Γ este deschis, atunci
vp∫Γdττ-t×vp∫Γf(τ,τ′)τ′-τdτ′=-π2f(t,t)+vp∫Γdτ′∫Γf(τ,τ′)(τ-t)(τ′-τ)dτ{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; \ times \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t, t ) + {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} \ mathrm {d} \ tau '\ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau')} {(\ tau - t) (\ tau '- \ tau)}} \ mathrm {d} \ tau}![{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; \ times \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t, t ) + {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} \ mathrm {d} \ tau '\ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau')} {(\ tau - t) (\ tau '- \ tau)}} \ mathrm {d} \ tau}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56061f98d155977c6a2e0c86e676ec4293fce2a)
unde vp este valoarea principală a lui Cauchy
În cazul particular al unei funcții f (τ) în funcție de o singură variabilă și definită pe o curbă închisă atunci
vp∫Γdττ-tvp∫Γf(τ′)τ′-τdτ′=-π2f(t){\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t)}![{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59f534f2989025f89f9a98b7d597479b94cc792)
Această expresie este valabilă pentru toate t dacă f este continuu în sensul lui Hölder sau aproape pentru toate t dacă f ∈ L p , p > 1
Referințe
-
Henri Poincaré , Lessons in Celestial Mechanics: Theory of Tides , vol. 3, Gauthier-Villars ,1910, 253-256 p. ( citește online )
-
Gaston Bertrand, „ Ecuațiile Fredholm cu integrale principale în sensul lui Cauchy ”, Proceedings of the Academy of Sciences , vol. 172,1921, p. 1458-1461 ( citește online )
-
Gaston Bertrand, „ Teoria mareelor și a ecuațiilor integrale ”, Analele științifice ale École normale supérieure , vol. 40,1923, p. 151-258 ( citiți online )
-
(în) G. H. Hardy , „ Theory of Cauchy’s Principal gains ” , Proceedings of the London Mathematical Society , vol. 7, n o 21909, p. 181–208 ( citește online )
-
(în) Nikolai Ivanovich Muskhelishvili, Ecuații integrale singulare: probleme la limitele teoriei funcțiilor și aplicațiile lor la fizica matematică , Wolters-Noordhoff ,1972( ISBN 9-0016-0700-4 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">