În matematică și mai precis în analiza funcțională , teorema lui Mercer este o reprezentare a unei funcții simetrice de tip pozitiv prin pătratul unei serii convergente de produse de funcții. Această teoremă este unul dintre rezultatele emblematice ale lui James Mercer . Este un instrument teoretic important în teoria ecuațiilor integrale . Este, de asemenea, utilizat în teoria Hilbert a proceselor stochastice (a se vedea teorema Karhunen-Loève (en) și transformarea Karhunen-Loève ).
Pentru a explica teorema lui Mercer, să începem cu un caz special important; vezi mai jos pentru o formulare mai generală.
Termenul kernel , în acest context, este o funcție continuă
astfel încât K ( x , s ) = K ( s , x ).
Se spune că K este de tip pozitiv dacă
pentru orice serie finită de puncte x 1 ,…, x n din [ a , b ] și orice alegere a numerelor reale c 1 ,…, c n ( cf. Kernel de tip pozitiv (en) ).
Cu K asociem operatorul integral definit de:
Din motive tehnice, vom presupune că φ poate acoperi spațiul L 2 [ a , b ] al funcțiilor pătrate reale integrabile .
Teorema - Fie K o funcție de nucleu continuu simetrică de tip pozitiv. Asa de :
Să oferim în detaliu structura dovezii teoremei lui Mercer, în special în relația sa cu teoria spectrală a operatorilor compacți normali .
Pentru a arăta compactitatea, observăm mai întâi că imaginea bilei unitare a lui L 2 [ a , b ] de T K este echicontinuă . Ascoli Teorema permite să se deducă faptul că imaginea este relativ compactă în C ([ a , b ]) cu norma de convergență uniformă și fortiori are în L 2 [ a , b ].
Teoria spectrală a operatorilor compacti normali pe un spațiu Hilbert arată că există o bază Hilbert ( e i ) i a lui L 2 [ a , b ] adecvată pentru T K :
Pentru toate λ i > 0, vectorul propriu e i este deci o funcție continuă pe [ a , b ] (la fel ca toate imaginile de T K ale elementelor lui L 2 [ a , b ]). Aur
și conform teoremei lui Dini pentru creșterea secvențelor de funcții continue această convergență este uniformă , ceea ce permite, datorită inegalității Cauchy-Schwarz și criteriului Cauchy , să arate că seria
converge absolut și uniform în t la un nucleu K 0 , care este ușor de văzut că același operator definește miezul K . Deci K = K 0 , de aici teorema lui Mercer.
Deducem din cele de mai sus:
Teorema - Fie K un nucleu continuu simetric de tip pozitiv. Atunci valorile proprii strict pozitive ale operatorului T K (numărate cu multiplicitățile lor) formează o familie numărabilă (λ i ) i și avem:
Aceasta arată că operatorul T K are o urmă și
Teorema poate fi generalizată prin înlocuirea intervalului [ a , b ] cu un spațiu compact , măsura Lebesgue pe [ a , b ] se înlocuiește cu o măsură finită denumerably aditiv μ pe Borel a X . Să presupunem că purtătorul este μ X , adică μ ( U )> 0 pentru tot U deschis X non-gol . Deci, practic avem același rezultat:
Teorema - Fie K un nucleu continuu simetrică de tip pozitiv pe X . Apoi , valorile proprii ale lui T K sunt reale non-negative și există o bază Hilbert ( e i ) i L 2 μ ( X ) , care constă din funcțiile specifice T K . Funcțiile proprii corespunzătoare valorilor proprii diferite de zero sunt continue pe X și se scrie K
în cazul în care convergența este absolută și uniformă pe X .
Următoarea generalizare se referă la reprezentarea nucleelor măsurabile .
Fie ( X , M , μ) un spațiu σ-finit măsurat. Un nucleu L 2 pe X este o funcție
Orice nucleu L 2 definește un operator mărginit T K , prin formula:
T K este un operator compact (este chiar un operator Hilbert-Schmidt (en) ). În cazul în care kernel - K este simetrică, prin teorema spectrală pentru operatorii compacte normale pe un spațiu Hilbert, există o bază Hilbert constă din vectori proprii pentru T K . Vectorii acestei baze care corespund valorilor proprii diferite de zero formează o familie numărabilă ( e i ) i (chiar dacă Hilbert nu este separabil).
Teorema - Dacă K este un nucleu simetric de tip pozitiv pe ( X , M , μ), atunci
unde convergența este în norma L 2 .
Rețineți că, dacă nu se presupune că nucleul este continuu, expansiunea nu mai converge neapărat uniform.
Teorema lui Mercer este utilizată în învățarea automată , pentru trucul kernel - ului .