Polinom de apel generalizat
În matematică , o secvență de polinoame are o reprezentare generalizată Appell dacă funcția generatoare a polinoamelor ia forma:
(pnu(z))nu∈NU{\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ in \ mathbb {N}}}![{\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ in \ mathbb {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c83de9faa88bbab05a20f9c21014ad84189b471)
K(z,w)=LA(w)Ψ(zg(w))=∑nu=0∞pnu(z)wnu{\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}![{\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb58e78244dab5e1321340f0d4203a0ee55cf566)
unde funcția generatoare este compusă din serie :
K(z,w){\ displaystyle K (z, w)}![{\ displaystyle K (z, w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5deeee9c8e36e836c7d6e3bff73f3aed5449bec)
-
LA(w)=∑nu=0∞lanuwnu{\ displaystyle A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} w ^ {n}}
cu ;la0≠0{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}![{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d03e1056112eb63f3d6213ceb85f5a584923535)
-
Ψ(t)=∑nu=0∞Ψnutnu{\ displaystyle \ Psi (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}
cu toate ;Ψnu≠0{\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}![{\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4897650df1ef0605d025f47427742b8adc7a50bb)
-
g(w)=∑nu=1∞gnuwnu{\ displaystyle g (w) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g_ {n} w ^ {n}}
cu .g1≠0{\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}![{\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd14cdf545d007832101d1a51ca9a70578af835)
În condițiile de mai sus, nu este dificil să se arate că este un polinom de grad .
pnu(z){\ displaystyle p_ {n} (z)}
nu{\ displaystyle n}![nu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Cazuri speciale
- Alegerea dă clasei de polinoame Brenke (ro) .g(w)=w{\ displaystyle g (w) = w}
- Alegerea oferă secvența polinoamelor lui Sheffer .Ψ(t)=et{\ displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}
![{\ displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b164ceaf68cf02e052f567655740df1490df980)
- Alegerea simultană și oferă secvența polinoamelor Appell în sens strict.g(w)=w{\ displaystyle g (w) = w}
Ψ(t)=et{\ displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}![{\ displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b164ceaf68cf02e052f567655740df1490df980)
Reprezentare explicită
Polinoamele de apel generalizat au reprezentarea explicită
pnu(z)=∑k=0nuzkΨkhk{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}![{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9b70da36209734c2501f2496500dfb1b3137a7)
.
Coeficientul este
hk{\ displaystyle h_ {k}}![{\ displaystyle h_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fe4f83c0bf136a170a0433c961330328b3596f)
hk=∑Plaj0gj1gj2...gjk{\ displaystyle h_ {k} = \ sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}![{\ displaystyle h_ {k} = \ sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6002678c2f6fb5a5606fcea3b6882af3a1f65a49)
unde suma se extinde la toate „ partițiile în sens larg” ale lui n în k + 1 părți, adică tuturor ( k + 1) tuplului j de numere întregi pozitive sau zero ale sumei n .
Pentru polinoamele Appell, această formulă devine:
pnu(z)=∑k=0nulanu-kzkk!{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}![{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062fda3e0ebc05e5ab1d69348235de03493cfbe2)
.
Relații de recurență
Echivalent, o condiție necesară și suficientă pentru nucleu să fie scris ca cu este că
K(z,w){\ displaystyle K (z, w)}
LA(w)Ψ(zg(w)){\ displaystyle A (w) \ Psi (zg (w))}
g1=1{\ displaystyle g_ {1} = 1}![{\ displaystyle g_ {1} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c25d9d7b79784afcf15dddd37a04f49070f99c)
∂K(z,w)∂w=vs.(w)K(z,w)+zb(w)w∂K(z,w)∂z{\ displaystyle {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial z}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abf4c69445d615d95fec717d0d64e40460a999f)
unde și au dezvoltare în serie
b(w){\ displaystyle b (w)}
vs.(w){\ displaystyle c (w)}![{\ displaystyle c (w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0849e3aa7ec44f17cc2ce6d663ebbe64b54c21a0)
b(w)=wg(w)ddwg(w)=1+∑nu=1∞bnuwnu{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}![{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4422d05409bf825bd9e10a262ae1535357a8665)
și
vs.(w)=1LA(w)ddwLA(w)=∑nu=0∞vs.nuwnu{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}![{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce67e9057f72b591a2c001765bd59abcbd2fd5c3)
.
Prin efectuarea înlocuirii
K(z,w)=∑nu=0∞pnu(z)wnu{\ displaystyle K (z, w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}![{\ displaystyle K (z, w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fa283d421053010caddd091be187810c0b7c15)
,
apare imediat relația de recurență :
znu+1ddz[pnu(z)znu]=-∑k=0nu-1vs.nu-k-1pk(z)-z∑k=1nu-1bnu-kddzpk(z){\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ left [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ right] = - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}![{\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ left [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ right] = - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c204092f56b77691c103bf43a8ef28f8c4ce6ee9)
.
În cazul particular al polinoamelor Brenke, avem și, prin urmare, toate sunt zero, ceea ce simplifică considerabil relația de recurență.
g(w)=w{\ displaystyle g (w) = w}
bnu{\ displaystyle b_ {n}}![b_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97)
Credit de autor
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Generalized Appell polynomials ” ( vezi lista autorilor ) .
Bibliografie
- (ro) Ralph P. Boas, Jr. și R. Creighton Buck (ro) , Polynomial Expansions of Analytical Functions , New York / Berlin, Academic Press / Springer-Verlag ,1964, A 2 -a ed.
- (ro) William C. Brenke, „ Despre funcțiile generatoare ale sistemelor polinomiale ” , Amer. Matematica. Lună. , vol. 52,1945, p. 297-301
- (ro) WN Huff, „ Tipul polinoamelor generate de f (xt) φ (t) ” , Duke Math. J. , voi. 14,1947, p. 1091-1104
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">