Polinomul pustnic

În matematică , polinoamele hermite sunt o serie de polinoame care au fost numite în cinstea lui Charles Hermite (deși au fost studiate în principal de Joseph-Louis Lagrange în timpul lucrării sale privind probabilitățile și apoi în detaliu de Pafnouti Chebyshev cu șase ani înainte de Hermit). Uneori sunt descrise ca polinoame osculante .

Definiție

Polinoamele pustnic sunt definite după cum urmează:

Hnu(X)=(-1)nueX2/2dnudXnue-X2/2{\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {x ^ {2} / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2} / 2}}(așa-numita formă probabilistică ) H^nu(X)=(-1)nueX2dnudXnue-X2{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {x ^ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ { n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}}}(așa-numita formă fizică )

Ambele definiții sunt legate de următoarea proprietate scară: . H^nu(X)=2nu/2Hnu(X2){\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} (x) = 2 ^ {n / 2} H_ {n} \ left (x \, {\ sqrt {2}} \ right) \, \!}

Ele pot fi, de asemenea, scrise ca o expansiune polinomială:

Hnu(X)=∑k=0⌊nu/2⌋(-1)knu!2kk!(nu-2k)!Xnu-2k{\ displaystyle H_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ dfrac {n!} {2 ^ {k} k! (n-2k)!}} x ^ {n-2k}} H^nu(X)=∑k=0⌊nu/2⌋(-1)knu!k!(nu-2k)!(2X)nu-2k{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ dfrac {n! } {k! (n-2k)!}} (2x) ^ {n-2k}}

unde denotă partea întreagă a n / 2 . ⌊nu/2⌋{\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor}

Primele polinoame Hermite sunt după cum urmează:

H0=1 {\ displaystyle H_ {0} = 1 ~} H1=X {\ displaystyle H_ {1} = X ~} H2=X2-1 {\ displaystyle H_ {2} = X ^ {2} -1 ~} H3=X3-3X {\ displaystyle H_ {3} = X ^ {3} -3X ~} H4=X4-6X2+3 {\ displaystyle H_ {4} = X ^ {4} -6X ^ {2} + 3 ~} H5=X5-10X3+15X {\ displaystyle H_ {5} = X ^ {5} -10X ^ {3} + 15X ~} H6=X6-15X4+45X2-15 {\ displaystyle H_ {6} = X ^ {6} -15X ^ {4} + 45X ^ {2} -15 ~} H^0=1 {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {0} = 1 ~} H^1=2X {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {1} = 2X ~} H^2=4X2-2 {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {2} = 4X ^ {2} -2 ~} H^3=8X3-12X {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {3} = 8X ^ {3} -12X ~} H^4=16X4-48X2+12 {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {4} = 16X ^ {4} -48X ^ {2} + 12 ~} H^5=32X5-160X3+120X {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {5} = 32X ^ {5} -160X ^ {3} + 120X ~} H^6=64X6-480X4+720X2-120 {\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {6} = 64X ^ {6} -480X ^ {4} + 720X ^ {2} -120 ~}

Se poate arăta că în H p coeficienții de ordine având aceeași paritate ca p -1 sunt zero și că coeficienții de ordine p și p -2 sunt respectiv 1 și - p ( p -1) ⁄ 2 .

Proprietăți

Ortogonalitate

Polinomul H p este de grad p . Aceste polinoame sunt ortogonale pentru măsurarea densității μ

dμ(X)dX=e-X2/22π,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mu (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2} } {\ sqrt {2 \ pi}}},}

adică verifică:

∫-∞+∞Hnu(X)Hm(X)e-X2/2dX=nu!2π δnu,m{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} H_ {n} (x) H_ {m} (x) \, {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2 } \, \ mathrm {d} x = n! {\ sqrt {2 \ pi}} ~ \ delta _ {n, m}}

unde este simbolul Kronecker . Avem același lucru pentru forma fizică: δnu,m{\ displaystyle \ delta _ {n, m}}

∫-∞+∞H^nu(X)H^m(X)e-X2dX=2nunu!π δnu,m.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ widehat {H}} _ {n} (x) {\ widehat {H}} _ {m} (x) \, {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = 2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}} ~ \ delta _ {n, m}.} Demonstrație

Presupunem m ≥ n . Rezultatul îl obținem prin n integrări pe părți (folosind, pentru fiecare, nulitatea în ± ∞ a unui polinom înmulțit cu ): e-X2/2{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2}}

∫-∞+∞Hnu(X)Hm(X)e-X2/2dX=(-1)m∫-∞+∞(dmdXme-X2/2)Hnu(X)dX=(-1)m-nu∫-∞+∞(dm-nudXm-nue-X2/2)Hnu(nu)(X)dX=(-1)m-nunu!∫-∞+∞dm-nudXm-nue-X2/2dX={dacă m>nu :0dacă m=nu :nu!∫-∞+∞e-X2/2dX=nu!2π.{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} H_ {n} (x) H_ {m} (x) \, {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2} \, \ mathrm {d} x & = (- 1) ^ {m} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {\ mathrm {d } ^ {m}} {\ mathrm {d} x ^ {m}}} {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2} \ right) H_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x \\ & = (- 1) ^ {mn} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {mn}} {\ mathrm {d} x ^ {mn}}} {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2} \ right) H_ {n} ^ {(n)} (x) \, \ mathrm { d} x \\ & = (- 1) ^ {mn} n! \, \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {mn}} {\ mathrm {d} x ^ {mn}}} {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2} \, \ mathrm {d} x \\ & = {\ begin {cases} {\ text { si}} m> n ~: & 0 \\ {\ text {si}} m = n ~: & n! \, \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2} \, \ mathrm {d} x = n! \, {\ sqrt {2 \ pi}}. \ end {cases}} \ end {align}}}

Rezultatul pentru forma fizică este obținut printr-o schimbare de variabile.

Aceste funcții formează deci o bază ortogonală a spațiului hilbertian al funcțiilor boreliene astfel încât L2(VS,μ){\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {C}, \ mu)}

∫-∞+∞|f(X)|2e-X2/22πdX<+∞{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ^ {2} \, {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x ^ {2} / 2 }} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

în care produsul punct este dat de integral

⟨f,g⟩=∫-∞+∞f(X)g(X)¯e-X2/22πdX.{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \, {\ frac {{\ rm {e }} ^ {- x ^ {2} / 2}} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ mathrm {d} x. \,}

Proprietăți similare sunt verificabile pentru polinoamele Hermite în forma lor fizică.

Proprietăți de recurență

Al n- lea polinom Hermit satisface următoarea ecuație diferențială (atât în ​​versiunea sa probabilistică, fie în cea fizică):

Hnu″(X)-XHnu′(X)+nuHnu(X)=0,{\ displaystyle H_ {n} '' (x) -xH_ {n} '(x) + nH_ {n} (x) = 0, \,} H^nu″(X)-2XH^nu′(X)+2nuH^nu(X)=0.{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} '' (x) -2x {\ widehat {H}} _ {n} '(x) + 2n {\ widehat {H}} _ {n} ( x) = 0. \,}

Polinoamele hermite satisfac, de asemenea, următoarea relație de recurență:

Hnu+1(X)=XHnu(X)-nuHnu-1(X),{\ displaystyle H_ {n + 1} (x) = xH_ {n} (x) -nH_ {n-1} (x), \,} H^nu+1(X)=2XH^nu(X)-2nuH^nu-1(X).{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n + 1} (x) = 2x {\ widehat {H}} _ {n} (x) -2n {\ widehat {H}} _ {n-1} (X). \,}

În plus, satisfac proprietatea:

Hnu′(X)=nuHnu-1(X),{\ displaystyle H_ {n} '(x) = nH_ {n-1} (x), \,} H^nu′(X)=2nuH^nu-1(X).{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} '(x) = 2n {\ widehat {H}} _ {n-1} (x). \,} Demonstrație

Demonstrăm cu formă fizică. Conform formulei lui Leibniz  :

dnu+1dXnu+1e-X2=dnudXnu(-2Xe-X2)=-2XdnudXnue-X2-2nudnu-1dXnu-1e-X2{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n + 1}} {{\ rm {d}} x ^ {n + 1}}} e ^ {- x ^ {2}} = { \ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (-2xe ^ {- x ^ {2}} \ right) = - 2x {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} - 2n {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n-1}} {{\ rm {d}} x ^ {n-1}}} e ^ {- x ^ {2}}}

care, înmulțit cu factorul Gaussian, dă:

H^nu+1(X)=2XH^nu-2nuH^nu-1{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n + 1} (x) = 2x {\ widehat {H}} _ {n} -2n {\ widehat {H}} _ {n-1}}

Care este una dintre proprietățile de recurență dorite.

Apoi derivăm expresia , care dă: H^nu(X)=(-1)nueX2dnudXnue-X2{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n} } {{\ rm {d}} x ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}}}

H^nu+1(X)=2XH^nu-H^nu′{\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n + 1} (x) = 2x {\ widehat {H}} _ {n} - {\ widehat {H}} '_ {n}}

Din ceea ce precede, tragem , ceea ce ne permite în cele din urmă să transmitem proprietății recurente deja găsite la cealaltă. H^nu′(X)=2nuH^nu-1(X){\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} '(x) = 2n {\ widehat {H}} _ {n-1} (x)}

Rezultatul pentru forma matematică este obținut prin schimbarea variabilelor.

Un Taylor de expansiune la ordinea de în jurul dă următoarele formule: nu{\ displaystyle n}Hnu{\ displaystyle H_ {n}}X{\ displaystyle x}

Hnu(X+y)=∑k=0nu(nuk)XkHnu-k(y){\ displaystyle H_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {k} H_ {nk} (y)} H^nu(X+y)=∑k=0nu(nuk)(2X)kH^nu-k(y){\ displaystyle {\ widehat {H}} _ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} (2x) ^ {k} {\ widehat {H }} _ {nk} (y)}

Funcții Hermit-Gauss

Polinoamele hermite sunt implicate în definirea funcțiilor Hermite-Gauss, utile în fizica cuantică sau optică:

ψnu(X)=vs.nuH^nu(X)e-X2/2{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = c_ {n} {\ widehat {H}} _ {n} (x) e ^ {- x ^ {2} / 2}}

iar formula de ortogonalitate a polinoamelor Hermite pentru măsură (demonstrată mai sus) ne asigură că, luând , funcțiile Hermite-Gauss sunt ortogonale între ele: μ{\ displaystyle \ mu}vs.nu=(2nunu!π)-1/2{\ displaystyle c_ {n} = (2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}}) ^ {- 1/2}}

∫-∞+∞ψnu(X)ψm(X)dX=δnum{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {m} (x) \, \ mathrm {d} x = \ delta _ {nm} }

Familia de funcții este utilizată în fizica cuantică ca familie de funcții de undă ale statelor proprii ale oscilatorului armonic cuantic . ψnu{\ displaystyle \ psi _ {n}}

Funcțiile Hermite verifică ecuația diferențială și moștenesc proprietățile de recurență din polinoamele Hermite: precum și . ψnu″(X)+(2nu+1-X2)ψnu(X)=0{\ displaystyle \ psi _ {n} '' (x) + (2n + 1-x ^ {2}) \ psi _ {n} (x) = 0}ψnu′(X)=nu/2 ψnu-1(X)-(nu+1)/2 ψnu+1(X){\ displaystyle \ psi _ {n} '(x) = {\ sqrt {n / 2}} ~ \ psi _ {n-1} (x) - {\ sqrt {(n + 1) / 2}} ~ \ psi _ {n + 1} (x)}Xψnu(X)=nu/2 ψnu-1(X)+(nu+1)/2 ψnu+1(X){\ displaystyle x \; \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {n / 2}} ~ \ psi _ {n-1} (x) + {\ sqrt {(n + 1) / 2} } ~ \ psi _ {n + 1} (x)}

În cele din urmă, această familie de funcții prezintă un alt interes major în contextul analizei Fourier  : observând transformarea Fourier (cu convenția ), se formează o bază Hilbert a format prin vectorii proprii de  : F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}F[g](ω)=1/2π∫g(t)eeuωtdt{\ displaystyle {\ mathcal {F}} [g] (\ omega) = 1 / {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \, g (t) e ^ {i \ omega t} dt}L2(R){\ displaystyle {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R})}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

F[ψnu]=eunuψnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} [\ psi _ {n}] = i ^ {n} \, \ psi _ {n}}

Se va observa că această formulă este exactă doar luând polinomul Hermitei în forma sa fizică și cu convenția de transformare Fourier explicată mai sus. Folosind o altă convenție, valorile proprii se schimbă: de exemplu, cu una se va obține . Forma de frecvență a transformatei Fourier va fi mai ușor diagonalizabilă cu funcții ușor modificate, pentru care vom avea . Fbeus[g](ω)=∫g(t)e-euωtdt{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {bis} [g] (\ omega) = \ int \, g (t) e ^ {- i \ omega t} dt}Fbeus[ψnu]=2π(-eu)nuψnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {bis} [\ psi _ {n}] = {\ sqrt {2 \ pi}} (- i) ^ {n} \, \ psi _ {n}}Ffreq[g](f)=∫g(t)e-2euπftdt{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {freq} [g] (f) = \ int \, g (t) e ^ {- 2i \ pi ft} dt}ϕnu(X)=21/4(nu!)-1/2e-πX2Hnu(2Xπ)=(2π)1/4ψ(2πX){\ displaystyle \ phi _ {n} (x) = 2 ^ {1/4} ({\ sqrt {n!}}) ^ {- 1/2} \, {\ rm {e}} ^ {- \ pi x ^ {2}} H_ {n} (2x {\ sqrt {\ pi}}) = (2 \ pi) ^ {1/4} \ psi ({\ sqrt {2 \ pi}} x)}Ffreq[ϕnu]=(-eu)nuϕnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {freq} [\ phi _ {n}] = (- i) ^ {n} \, \ phi _ {n}}

Note și referințe

1. PL Chebyshev , „  Despre  dezvoltarea funcțiilor cu o singură variabilă”, Bull. Acad. Știință. Sf. Petersb. , vol.  1,1859, p.  193–200Colectat în lucrările I , 501–508.
2. (în) Bibhuti Bhusan Saha „  Funcția generatoare a polinoamelor hermite  ” , Jurnalul matematic Yokohama ,1969, p.  73-76 ( citește online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">