Polinomul Touchard

De polinoame de Touchard , studiate de Jacques Touchard , de asemenea , numit exponențială polinomială sau polinomiale Bell , sunt o secvență de polinoame de tip polinom definite de

{\ displaystyle T_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left \ {{n \ atop k} \ right \} x ^ {k}}

unde este numărul Stirling de al doilea fel care numără numărul de partiții ale unui set de elemente în subseturi disunite nevăzute. ${\ displaystyle S (n, k) = \ left \ {{n \ atop k} \ right \}}$ $nu$ $k$

Proprietăți

Valoarea în 1 din polinomul -touchard este al -th -lea număr Bell , adică numărul de partiții ale unui set de dimensiuni : $nu$ $nu$ $nu$ ${\ displaystyle T_ {n} (1) = B_ {n}}$ .

Polinoamele lui Touchard verifică ${\ displaystyle T_ {n} (x) = e ^ {- x} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k} k ^ {n}} {k!}} }$ .

Secvența polinoamelor este de tip binom și satisface identitățile ${\ displaystyle T_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} T_ {k} (x) T_ {nk} (y)}$ .

Polinoamele lui Touchard sunt singura secvență polinomială de tip binomial al cărui coeficient al termenului de grad 1 este egal cu 1 în fiecare polinom.

Polinoamele lui Touchard verifică o formulă Rodrigues : ${\ displaystyle T_ {n} \ left (e ^ {x} \ right) = e ^ {- e ^ {x}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \; e ^ {e ^ {x}}.}$

Polinoamele lui Touchard verifică relațiile de recurență : ${\ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x \ left (1 + {\ frac {d} {dx}} \ right) T_ {n} (x)}$ și . ${\ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} T_ {k} (x)}$

Deoarece se reduce la formula de recurență pentru numerele Bell .

x = 1

Odată cu notația împrumutată din calculul ombral , aceste formule devin: ${\ displaystyle T ^ {n} (x) = T_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle T_ {n} (x + y) = \ left (T (x) + T (y) \ right) ^ {n},}$ și ${\ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x \ left (1 + T (x) \ right) ^ {n}.}$

Seria generatoare de polinoame Touchard este: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {T_ {n} (x) \ over n!} t ^ {n} = e ^ {x \ left (e ^ {t} -1 \ dreapta)}}$ ,

care corespunde seriei generatoare de numere Stirling de al doilea fel .

Polinoamele Touchard admit o reprezentare prin integrală de contur : ${\ displaystyle T_ {n} (x) = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ anint {\ frac {e ^ {x ({e ^ {t}} - 1)}} {t ^ {n + 1}}} \, dt}$ .

Zero

Zero-urile polinoamelor Touchard sunt reale negative. Cel mai mic zero este redus, în valoare absolută, cu:

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} {\ binom {n} {2}} + {\ frac {n-1} {n}} {\ sqrt {{\ binom {n} {2}} ^ {2} - {\ frac {2n} {n-1}} \ left ({\ binom {n} {3}} + 3 {\ binom {n} {4}} \ right)}},}

și se presupune că cel mai mic zero crește liniar cu indicele n .

Putem încadra măsura Mahler (în) polinoame ale lui Touchard după cum urmează: ${\ displaystyle M (T_ {n})}$

{\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle {\ left \ {{n \ atop \ Omega _ {n}} \ right \}}} {\ displaystyle {\ binom {n} {\ Omega _ {n}}}} } \ leq M (T_ {n}) \ leq {\ sqrt {n + 1}} \ left \ {{n \ atop K_ {n}} \ right \}}

unde și sunt cei mai mici indici k care respectiv maximizează și . $\ Omega _ {n}$ $K_n$ ${\ displaystyle \ lbrace \ textstyle {n \ atop k} \ rbrace / {\ binom {n} {k}}}$ ${\ displaystyle \ lbrace \ textstyle {n \ atop k} \ rbrace}$

Generalizări

Cele mai complet polinoame Bell poate fi văzută ca o generalizare a polinoame multivariate de Touchard , deoarece ${\ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle T_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, \ dots, x)}$ .
Polinoamele Touchard (și, prin urmare, și numerele Bell ) pot fi generalizate la indici fracționari utilizând partea reală a integralei dată mai sus: ${\ displaystyle T_ {n} (x) = {\ frac {n!} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {x {\ bigl (} e ^ {\ cos (\ theta)} \ cos (\ sin (\ theta)) - 1 {\ bigr)}} \ cos {\ bigl (} xe ^ {\ cos (\ theta)} \ sin (\ sin (\ theta)) - n \ theta {\ bigr)} \, d \ theta \,}$ .

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Touchard polynomials ” ( vezi lista autorilor ) .

Jacques Touchard , „ Despre ciclurile substituțiilor ”, Acta Mathematica , vol. 70, n o 1,1939, p. 243–297 ( ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007 / BF02547349 , Recenzii matematice 1555449 ).
Steven Roman , The Umbral Calculus , Dover ,1984, 193 p. ( ISBN 0-486-44139-3 ).
Hristo N. Boyadzhiev , „ polinoame Exponențiale, numere Stirling și evaluarea unor integralelor gamma “, Abstract si Analiza Aplicata , vol. 2009,2009, p. 1–18 ( DOI 10.1155 / 2009/168672 , Bibcode 2009AbApA2009 .... 1B , arXiv 0909.0979 ).
Bruce C. Brendt , „ Ramanujan își întinde mâna din mormânt pentru a-ți smulge teoremele ” , Asia Pacific Mathematics Newsletter , vol. 1, n o 22011, p. 8-13 ( citit online , accesat la 16 iulie 2018 ).
(în) Eric W. Weisstein , „ Bell Polynomial ” pe MathWorld .
O secvență de polinoame indexate cu {0, 1, 2, 3, ...}, unde indicele fiecărui polinom este egal cu gradul său, este de tip polinomial dacă îndeplinește identitățile ${\ displaystyle p_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} \, p_ {k} (x) \, p_ {nk} (y)}$ .
Lawrence H. Harper , „ Comportamentul lui Stirling este normal asimptotic ”, The Annals of Mathematical Statistics , vol. 38, n o 21967, p. 410–414 ( DOI 10.1214 / aoms / 1177698956 )
István Mező și Roberto B. Corcino , „ Estimarea zerourilor polinoamelor Bell și r-Bell ”, Matematică aplicată și calcul , vol. 250,2015, p. 727–732 ( DOI 10.1016 / j.amc.2014.10.058 ).
István Mező , „ Despre măsura Mahler a polinoamelor Bell ” (accesat la 7 noiembrie 2017 ) .

Articole similare