Polinom de apel generalizat

În matematică , o secvență de polinoame are o reprezentare generalizată Appell dacă funcția generatoare a polinoamelor ia forma: ${\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

unde funcția generatoare este compusă din serie : ${\ displaystyle K (z, w)}$

${\ displaystyle A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} w ^ {n}}$ cu ; ${\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}$
${\ displaystyle \ Psi (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}$ cu toate ; ${\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}$
${\ displaystyle g (w) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g_ {n} w ^ {n}}$ cu . ${\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}$

În condițiile de mai sus, nu este dificil să se arate că este un polinom de grad . ${\ displaystyle p_ {n} (z)}$ $nu$

Cazuri speciale

Alegerea dă clasei de polinoame Brenke (ro) . ${\ displaystyle g (w) = w}$
Alegerea oferă secvența polinoamelor lui Sheffer . ${\ displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}$
Alegerea simultană și oferă secvența polinoamelor Appell în sens strict. ${\ displaystyle g (w) = w}$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}$

Reprezentare explicită

Polinoamele de apel generalizat au reprezentarea explicită

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}

Coeficientul este ${\ displaystyle h_ {k}}$

{\ displaystyle h_ {k} = \ sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}

unde suma se extinde la toate „ partițiile în sens larg” ale lui n în k + 1 părți, adică tuturor ( k + 1) tuplului j de numere întregi pozitive sau zero ale sumei n .

Pentru polinoamele Appell, această formulă devine:

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}

Relații de recurență

Echivalent, o condiție necesară și suficientă pentru nucleu să fie scris ca cu este că ${\ displaystyle K (z, w)}$ ${\ displaystyle A (w) \ Psi (zg (w))}$ ${\ displaystyle g_ {1} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial z}}}

unde și au dezvoltare în serie ${\ displaystyle b (w)}$ ${\ displaystyle c (w)}$

{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}

și

{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}

Prin efectuarea înlocuirii

{\ displaystyle K (z, w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

apare imediat relația de recurență :

{\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ left [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ right] = - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}

În cazul particular al polinoamelor Brenke, avem și, prin urmare, toate sunt zero, ceea ce simplifică considerabil relația de recurență. ${\ displaystyle g (w) = w}$ $b_n$

Credit de autor

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Generalized Appell polynomials ” ( vezi lista autorilor ) .

Bibliografie

(ro) Ralph P. Boas, Jr. și R. Creighton Buck (ro) , Polynomial Expansions of Analytical Functions , New York / Berlin, Academic Press / Springer-Verlag ,1964, A 2 -a ed.
(ro) William C. Brenke, „ Despre funcțiile generatoare ale sistemelor polinomiale ” , Amer. Matematica. Lună. , vol. 52,1945, p. 297-301
(ro) WN Huff, „ Tipul polinoamelor generate de f (xt) φ (t) ” , Duke Math. J. , voi. 14,1947, p. 1091-1104