Filă sferică
În geometrie , o filă sferică este solidul decupat dintr-o minge de două semiplane având același diametru ca marginea. Mai exact, aceste jumătăți de plan tăiat în bilă două filete sferice, una, mai mică decât o emisferă , este filă minoră, cealaltă este filă majoră.
O filă sferică este o porțiune a unei bile interceptată de un diedru a cărui margine trece prin centrul sferei. Unghiul său diedru α și raza r a sferei sunt cele două dimensiuni care caracterizează o filă sferică.
O pană portocalie sau cu lămâie este un exemplu de filă sferică.
Suprafața care închide clapeta sferică constă dintr-un fus sferic și două semidiscuri .
Proprietăți geometrice
O filă sferică are două planuri de simetrie: planul de mediere al marginii diedrului (în cazul fusurilor terestre este planul ecuatorial) și planul bisectoare al unghiului diedru. Prin urmare, are o axă de simetrie care este intersecția acestor două planuri. Axa antipodală este diametrul comun celor două semiplane. Un plan perpendicular pe axa antipodală se taie în tabla sferică a sectoarelor circulare
-
Volum : unde S este zona axului care servește ca bază a filei;V=23αr3=13rS{\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} \ alpha r ^ {3} = {\ frac {1} {3}} rS}
-
Zona laterală : suprafața care cuprinde clema sferică este formată dintr-un fus sferic și două semidiscuri, prin urmareL=(π+2α)r2;{\ displaystyle L = (\ pi +2 \ alpha) r ^ {2} \,;}
-
Centrul de greutate : centrul de greutate al filei sferice la trei sferturi din segmentul care unește centrul sferei la centrul de greutate al zonei sferice ested=34πrpăcat(α/2)2α.{\ displaystyle d = {\ frac {3} {4}} {\ frac {\ pi r \ sin (\ alpha / 2)} {2 \ alpha}} \,.}
Dovadă prin calcul integral
În coordonate sferice
XG=∫-α/2α/2∫0π∫0rρpăcatθcosφ⋅ρ2păcatθdρdθdφ∫-α/2α/2∫0π∫0rρ2păcatθdρdθdφ=MXV{\ displaystyle x_ {G} = {\ frac {\ int _ {- \ alpha / 2} ^ {\ alpha / 2} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {r} \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \ cdot \ rho ^ {2} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ int _ {- \ alpha / 2} ^ {\ alpha / 2} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {r} \ rho ^ {2} \ sin \ theta \ , \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi}} = {\ frac {M_ {x}} {V}}}
Știm deja asta . Rămâne de calculat .
V=23αr3{\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} \ alpha r ^ {3}}
MX{\ displaystyle Mx}
MX=∫-α/2α/2cosφdφ⋅∫0πpăcat2θdθ⋅∫0rρ3dρ{\ displaystyle Mx = \ int _ {- \ alpha / 2} ^ {\ alpha / 2} \ cos \ varphi \, \ mathrm {d} \ varphi \ cdot \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \ cdot \ int _ {0} ^ {r} \ rho ^ {3} \, \ mathrm {d} \ rho}
MX=[păcatφ]-α/2α/2⋅[θ2-păcat(2θ)4]0π⋅[ρ44]0r{\ displaystyle Mx = {\ Big [} \ sin \ varphi {\ Big]} _ {- \ alpha / 2} ^ {\ alpha / 2} \ cdot \ left [{\ frac {\ theta} {2}} - {\ frac {\ sin (2 \ theta)} {4}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} \ cdot \ left [{\ frac {\ rho ^ {4}} {4}} \ dreapta] _ {0} ^ {r}}![{\ displaystyle Mx = {\ Big [} \ sin \ varphi {\ Big]} _ {- \ alpha / 2} ^ {\ alpha / 2} \ cdot \ left [{\ frac {\ theta} {2}} - {\ frac {\ sin (2 \ theta)} {4}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} \ cdot \ left [{\ frac {\ rho ^ {4}} {4}} \ dreapta] _ {0} ^ {r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b318ada46836b78dc42449311cc32e83cfcff7e)
MX=2păcat(α/2)⋅π2⋅r44=14πpăcat(α/2)r4{\ displaystyle Mx = 2 \ sin (\ alpha / 2) \ cdot {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot {\ frac {r ^ {4}} {4}} = {\ frac {1} {4}} \ pi \ sin (\ alpha / 2) r ^ {4}}
Prin urmare
XG=14πpăcat(α/2)r423αr3=34πpăcat(α/2)r2α{\ displaystyle x_ {G} = {\ frac {{\ frac {1} {4}} \ pi \ sin (\ alpha / 2) r ^ {4}} {{\ frac {2} {3}} \ alpha r ^ {3}}} = {\ frac {3} {4}} {\ frac {\ pi \ sin (\ alpha / 2) r} {2 \ alpha}}}
Referințe
-
Memoria Societății Regale de Științe din Liège , t. 6,1909( citiți online ) , p. 10
Vezi și tu
Articole similare
Link extern
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">